Sebbene Einstein sia una figura leggendaria nella scienza per un gran numero di ragioni, E= mc² , l’effetto fotoelettrico e l’idea che la velocità della luce sia una costante per tutti, la sua scoperta più duratura è anche la meno compresa: la sua teoria della gravitazione o Relatività Generale.
Prima di Einstein, pensavamo alla gravitazione in termini newtoniani: tutto ciò che nell’Universo ha una massa attrae istantaneamente ogni altra massa, a seconda del valore delle loro masse, della costante gravitazionale e del quadrato della loro distanza. Ma la concezione di Einstein era completamente diversa, basata sull’idea che spazio e tempo siano unificati in un tessuto: lo spaziotempo, e che la curvatura dello spaziotempo dica non solo alla materia, ma anche all’energia, come muoversi al suo interno.
Questa idea fondamentale – che la materia e l’energia dicono allo spaziotempo come curvarsi, e che lo spaziotempo curvo, a sua volta, dice alla materia e all’energia come muoversi – ha rappresentato una nuova visione rivoluzionaria dell’universo.
Presentata nel 1915 da Einstein e convalidata quattro anni dopo durante un’eclissi solare totale – quando la curvatura della luce stellare proveniente da sorgenti luminose dietro il Sole risultò concordare con le previsioni di Einstein e non con quelle di Newton – la relatività generale ha superato ogni test osservativo e sperimentale che abbiamo mai inventato.
Eppure, nonostante il suo successo in più di 100 anni, quasi nessuno capisce di cosa si tratti in realtà l’unica equazione che governa la relatività generale. Ecco, in parole povere, cosa significa veramente.
Su un lato dell’equazione ci sono alcune lettere e simboli, mentre sul lato destro ce ne sono altri. Naturalmente, non è ciò che le lettere e i simboli sono, ma ciò che rappresentano e il significato della relazione tra loro. Questa equazione sembra piuttosto semplice, in quanto sono presenti solo pochi simboli.
- Il primo, G_μν, è noto come tensore di Einstein e rappresenta la curvatura dello spazio.
- La seconda, Λ, è la costante cosmologica: una quantità di energia, positiva o negativa, che è inerente al tessuto stesso dello spazio.
- Il terzo termine, g_μν, è noto come metrica, che codifica, matematicamente, le proprietà di ogni punto all’interno del nostro spaziotempo.
- Il quarto termine, 8πG/c⁴, è solo un prodotto di costanti, ed è esso stesso noto come costante gravitazionale di Einstein, la controparte della costante gravitazionale di Newton, G, con cui la maggior parte di noi ha più familiarità.
- E il quinto termine, T_μν, è noto come tensore stress-energia e descrive l’energia, la quantità di moto e lo stress locali (nelle vicinanze) all’interno di quello spazio-tempo.
Questi cinque termini, tutti collegati tra loro attraverso quelle che chiamiamo le equazioni di campo di Einstein, sono sufficienti per mettere in relazione la geometria dello spaziotempo con tutta la materia e l’energia al suo interno: il segno distintivo della Relatività Generale.
Forse ti starai chiedendo che fine fanno tutti quei pedici: quelle strane combinazioni “μν” di lettere greche che vedi in fondo al tensore di Einstein, alla metrica e al tensore stress-energia. Molto spesso, quando scriviamo un’equazione, scriviamo un’equazione scalare: un’equazione che rappresenta solo una singola uguaglianza, in cui la somma di tutto ciò che è a sinistra è uguale a tutto ciò che è a destra. Ma possiamo anche scrivere sistemi di equazioni e rappresentarli con un’unica semplice formulazione che codifica queste relazioni.
E = mc² è un’equazione scalare, perché l’energia (E), la massa (m) e la velocità della luce (c) hanno tutte solo valori singoli e unici. Ma l’equazione F = m a di Newton non è una singola equazione, ma è piuttosto tre equazioni separate: F_x = ma_x per la “x” direzione, F_y = ma_y per la direzione “y”, e F_z = ma_z per la direzione “Z” .
Nella Relatività Generale, il fatto che abbiamo quattro dimensioni (tre spaziali e una temporale) e due pedici, che i fisici chiamano indici, significa che non c’è una sola equazione, e nemmeno tre o quattro. Invece, abbiamo ciascuna delle quattro dimensioni (t, x, y, z) che influenza ciascuna delle altre quattro (t, x, y, z), per un totale di 4 × 4, o 16, equazioni.
Perché servono così tante equazioni solo per descrivere la gravitazione, mentre Newton ne usava solo una?
Perché la geometria è una bestia complicata, perché stiamo lavorando in quattro dimensioni, e perché ciò che accade in una dimensione, o anche in un luogo, può propagarsi verso l’esterno e influenzare ogni luogo dell’Universo, se solo si lascia passare abbastanza tempo. Il nostro Universo, con tre dimensioni spaziali e la nostra unica dimensione temporale, significa che la geometria del nostro Universo può essere trattata matematicamente come una varietà quadridimensionale.
Nella geometria riemanniana, dove le varietà non devono essere dritte e rigide ma possono essere arbitrariamente curve, puoi spezzare quella curvatura in due parti: parti che distorcono il volume di un oggetto e parti che distorcono la forma di un oggetto. La parte “Ricci” è una distorsione del volume e questo gioca un ruolo nel tensore di Einstein, poiché il tensore di Einstein è costituito dal tensore di Ricci e dallo scalare di Ricci, con alcune costanti e la metrica inserita. La parte “Weyl” è deformazione della forma e, abbastanza controintuitivamente, non ha alcun ruolo nelle equazioni di campo di Einstein.
Le equazioni di campo di Einstein non sono quindi solo un’equazione, ma piuttosto un insieme di 16 equazioni diverse: una per ciascuna delle combinazioni “4 × 4”. Quando un componente o un aspetto dell’Universo cambia, come la curvatura spaziale in qualsiasi punto o in qualsiasi direzione, anche ogni altro componente può cambiare in risposta. Questo quadro, in molti modi, porta il concetto di equazione differenziale al livello successivo.
Un’equazione differenziale è qualsiasi equazione in cui puoi fare quanto segue:
- puoi fornire le condizioni iniziali del tuo sistema, come ciò che è presente, dove e quando è e come si sta muovendo,
- quindi puoi collegare queste condizioni alla tua equazione differenziale,
- e l’equazione ti dirà come queste cose si evolvono nel tempo, passando all’istante successivo,
- dove puoi reinserire quell’informazione nell’equazione differenziale, dove ti dirà cosa succede successivamente, nell’istante successivo.
È una struttura tremendamente potente ed è la vera ragione per cui Newton aveva bisogno di inventare il calcolo affinché cose come il movimento e la gravitazione diventassero campi scientifici comprensibili.
Solo, quando iniziamo a occuparci di Relatività Generale, non è solo un’equazione o anche una serie di equazioni indipendenti che si propagano ed evolvono tutte nella propria dimensione. Invece, poiché ciò che accade in una direzione o dimensione influenza tutte queste altre, abbiamo 16 equazioni accoppiate e interdipendenti e mentre gli oggetti si muovono e accelerano attraverso lo spaziotempo, l’energia di stress cambia e così anche la curvatura spaziale.
Tuttavia, queste “16 equazioni” non sono del tutto uniche! Prima di tutto, il tensore di Einstein è simmetrico, il che significa che c’è una relazione tra ogni componente che accoppia una direzione all’altra. In particolare, se le tue quattro coordinate per il tempo e lo spazio sono (t, x, y, z), allora:
- il componente “tx” sarà equivalente al componente “xt”,
- il componente “ty” sarà equivalente al componente “yt”,
- la componente “tz” sarà equivalente alla componente “zt”,
- la componente “yx” sarà equivalente alla componente “xy”,
- il componente “zx” sarà equivalente al componente “xz”,
- e il componente “zy” sarà equivalente al componente “yz”.
All’improvviso, non ci sono 16 equazioni uniche, ma solo 10.
Inoltre, ci sono quattro relazioni che legano insieme la curvatura di queste diverse dimensioni: le Identità Bianchi. Delle 10 equazioni uniche rimanenti, solo sei sono indipendenti, poiché queste quattro relazioni riducono ulteriormente il numero totale di variabili indipendenti. Il potere di questa parte ci consente la libertà di scegliere qualunque sistema di coordinate ci piaccia, che è letteralmente il potere della relatività: ogni osservatore, indipendentemente dalla sua posizione o movimento, vede le stesse leggi della fisica, come le stesse regole per la Relatività Generale.
Ci sono altre proprietà di questo insieme di equazioni che sono estremamente importanti. In particolare, se prendi la divergenza del tensore stress-energia, ottieni sempre zero, non solo nel complesso, ma per ogni singolo componente. Ciò significa che hai quattro simmetrie: nessuna divergenza nella dimensione temporale o in nessuna delle dimensioni dello spazio, e ogni volta che hai una simmetria in fisica, hai anche una quantità conservata.
In Relatività Generale, quelle quantità conservate si traducono in energia (per la dimensione temporale), così come quantità di moto nelle direzioni x, yez (per le dimensioni spaziali). Proprio così, almeno localmente nelle vicinanze, sia l’energia che la quantità di moto vengono conservate per i singoli sistemi. Anche se è impossibile definire cose come “energia globale” in generale nella Relatività Generale, per qualsiasi sistema locale all’interno della Relatività Generale, sia l’energia che la quantità di moto rimangono sempre conservate; è un requisito della teoria.
Un’altra proprietà della Relatività Generale che è diversa dalla maggior parte delle altre teorie fisiche è che la Relatività Generale, come teoria, è non lineare. Se hai una soluzione alla tua teoria, come “com’è lo spaziotempo quando metto giù un singolo punto di massa?” potresti essere tentato di fare un’affermazione del tipo: “ok, se metto giù due masse puntiformi, posso combinare la soluzione per la massa n. 1 e la massa n. 2 e ottenere un’altra soluzione: la soluzione per entrambe le masse combinate“.
È vero, ma solo se hai una teoria lineare. La gravità newtoniana è una teoria lineare: il campo gravitazionale è il campo gravitazionale di ogni oggetto sommato e sovrapposto l’uno all’altro. L’elettromagnetismo di Maxwell è simile: il campo elettromagnetico di due cariche, due correnti o una carica e una corrente possono essere calcolati singolarmente e sommati per ottenere il campo elettromagnetico netto. Questo è vero anche nella meccanica quantistica, poiché anche l’equazione di Schrödinger è lineare (nella funzione d’onda).
Ma le equazioni di Einstein sono non lineari, il che significa che non puoi farlo. Se conosci la curvatura dello spaziotempo per un singolo punto di massa, e poi metti giù un secondo punto di massa e chiedi, “come è curvato lo spaziotempo adesso?” non possiamo scrivere una soluzione esatta. In effetti, anche oggi, più di 100 anni dopo che la Relatività Generale è stata presentata per la prima volta, ci sono ancora solo circa 20 soluzioni esatte conosciute nella relatività, e uno spaziotempo con due masse puntiformi non è ancora una di queste.
In origine, Einstein formulò la Relatività Generale con solo il primo e l’ultimo termine nelle sue equazioni: con il tensore di Einstein da un lato e il tensore stress-energia (moltiplicato per la costante gravitazionale di Einstein) dall’altro. Ha solo aggiunto la costante cosmologica, almeno secondo la leggenda, perché non poteva sopportare le conseguenze di un Universo che era costretto a espandersi o a contrarsi.
Eppure, la stessa costante cosmologica sarebbe stata un’aggiunta rivoluzionaria anche se la natura si fosse rivelata non averne una diversa da zero (nella forma dell’odierna energia oscura) per un motivo semplice ma affascinante. Una costante cosmologica, matematicamente, è letteralmente l’unica cosa “extra” che puoi aggiungere alla Relatività Generale senza cambiare radicalmente la natura della relazione tra materia-energia e la curvatura dello spaziotempo.
Il cuore della Relatività Generale, tuttavia, non è la costante cosmologica, che è semplicemente un particolare tipo di “energia” che puoi aggiungere, ma piuttosto gli altri due termini più generali. Il tensore di Einstein, G_μν, ci dice qual è la curvatura dello spazio, ed è correlato al tensore stress-energia, T_μν, che ci dice come sono distribuite la materia e l’energia all’interno dell’Universo.
Nel nostro Universo, facciamo quasi sempre approssimazioni. Se ignorassimo 15 delle 16 equazioni di Einstein e mantenessimo semplicemente la componente “energia”, avresti recuperato la teoria che sostituisce la legge di gravitazione di Newton. Se invece rendi l’Universo simmetrico in tutte le dimensioni spaziali e non gli permetti di ruotare, ottieni un Universo isotropo ed omogeneo: quello governato dalle equazioni di Friedmann, e quindi obbligato ad espandersi o contrarsi. Sulle scale cosmiche più grandi, questo sembra effettivamente descrivere l’Universo in cui viviamo.
Ma puoi anche inserire qualsiasi distribuzione di materia ed energia, così come qualsiasi raccolta di campi e particelle che ti piace, e se riesci a scriverlo, le equazioni di Einstein metteranno in relazione la geometria del tuo spaziotempo descrivendo come l’Universo stesso è curvato al tensore stress-energia, che è la distribuzione di energia, quantità di moto e stress.
Se esiste effettivamente una “teoria del tutto” che descrive sia la gravità che l’universo quantistico, sarà necessario affrontare le differenze fondamentali tra queste concezioni, inclusa la natura fondamentalmente non lineare della teoria di Einstein. Allo stato attuale, date le loro proprietà enormemente dissimili, l’unificazione della gravità con le altre forze quantistiche rimane uno dei sogni più ambiziosi di tutta la fisica teorica.
