Zero elevato a zero è uguale a uno?

In questo articolo, non parliamo di fisica e spazio, ma piuttosto di matematica. L’argomento è comunque interessante e non banale. Sappiamo tutti dalla scuola che zero elevato alla potenza di zero è indeterminato ma, in alcuni rami della matematica e in informatica è considerato uguale a uno. Ma perché? Scopriamolo insieme!

Il fatto che zero alla potenza di zero fa uno sembra contraddire la definizione di potenza. Cosa significa il numero X elevato a Y? Significa che il numero X viene moltiplicato per se stesso Y volte.

Cioè, X³ = X × X × X. Come sai, moltiplicando per zero risulta sempre zero. Cioè, anche zero a qualsiasi grado maggiore di zero sarà zero. Ad esempio ⁰⁵ = 0×0×0×0×0×0 = 0. Da dove viene uno?

Giustificazione grafica

Prendiamo una sequenza di numeri: 4, 3, 2, 1, 0,9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4 … 0.1, 0.01 e tracciamo la funzione y = xˣ. Come a scuola, calcola per ogni x il valore di y e registralo nella tabella.

È facile vedere che all’inizio i valori diminuiscono. Maggiore è x, maggiore è y e viceversa. Ma quando ci avviciniamo allo zero, intorno a 0,3, i valori iniziano improvvisamente a crescere e quando ci avviciniamo a 0, la funzione si avvicina all’unità in modo asintotico.

Sebbene in senso stretto la funzione y = xˣ sia discontinua quando x è zero, in alcuni rami della matematica e in informatica si concorda che zero elevato a zero fa uno.

Una tale convenzione è conveniente in diversi rami della matematica e in quasi tutti i linguaggi di programmazione contemporaneamente, come l’aritmetica, la combinatoria, la teoria degli insiemi, ecc., e consente di semplificare notevolmente molti calcoli piuttosto complicati.

Nella matematica superiore, in particolare nell’analisi matematica, il valore di zero elevato a zero è considerato indeterminato e in ogni caso l’incertezza viene risolta analiticamente, ad esempio trovando il limite del logaritmo naturale di un’espressione contenente zero elevato di zero.