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venerdì, Dicembre 2, 2022

Infinito ed oltre

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Dall’enciclopedia Treccani: “infinito agg. e s. m. [dal lat. infinitus, comp. di in2 e finitus, part. pass. di finire «limitare»]. – 1. agg. a. Che non ha principio né fine; che non ha limiti: il tempo i.; lo spazio i.; la misericordia di Dio è i.; isilenzio (Leopardi). Sostantivato, per antonomasia, l’Infinito, Iddio. b. Che non termina, che si protrae senza limiti: la serie dei numeri naturali è infinita“.

Quando ci confrontiamo con un concetto così enorme e sfuggente per le capacità del nostro cervello è inevitabile provare un profondo senso di vertigine. Eppure ci sono non pochi matematici che si sono guadagnati la “pagnotta” occupandosi dell’infinito. In realtà si è stabilito che esistono diversi tipi di infinito.

Prendiamo i numeri interi 1,2, 3, 4, 5….e così via. Siamo d’accordo che i numeri interi sono infiniti, possiamo contare senza alcun limite. Prendiamo adesso la sequenza dei numeri pari 2,4,6,8,10…..anche in questo caso ci troviamo di fronte ad una sequenza infinita. Poiché i numeri interi sono il doppio dei numeri pari ci troviamo di fronte apparentemente a due infiniti, uno però doppio dell’altro.

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E se invece considerassimo tutti i numeri e non soltanto quelli interi: 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 e così via? In questo caso abbiamo dieci termini per ogni singolo termine dei numeri interi.

Tutte e tre le sequenze considerate in questo esempio appartengono allo stesso “grado” di infinito. Esistono però altri “gradi” di infinito. Se prendiamo tutti i numeri possibili che comprendono anche le frazioni tra un numero intero ed un altro, anche l’intervallo tra 0 ed 1 o tra 1 e 2 e così via conterrà un numero infinito di termini. Abbiamo un insieme che contiene un infinito di numeri interi ed allo stesso tempo una sequenza infinita di frazioni comprese tra un numero intero e l’altro. Questo infinito ha un grado maggiore rispetto agli esempi precedenti.

Insomma esistono un numero infinito di infiniti diversi. Il concetto di infinito non è però soltanto un “gioco” matematico, ci aiuta a comprendere la natura dell’universo. Come può un universo infinito continuare ad espandersi? Ci aiuta a capire come questo sia possibile l’astrofisico russo Igor Novikov con questo suo “esempio alberghiero”.

Immaginate di arrivare all’Hotel Infinito che come promette il nome stesso ha un numero infinito di stanze. Alla reception ci informano che c’è già un numero infinito di ospiti e che quindi l’hotel è pieno. Noi protestiamo vivacemente con il Direttore al quale mostriamo la nostra regolare prenotazione, insistendo perché ci trovino comunque una sistemazione.

A questo punto il Direttore con un sorriso ci dice che non esiste alcun problema che l’Hotel Infinito non possa risolvere. Quindi fa spostare l’ospite della camera 1 nella camera 2, quello della camera 2 nella camera 3 e così via all’infinito. Con nostra grande soddisfazione ci consegnano le chiavi dell’ormai libera camera 1.

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L’esempio dell’hotel può essere applicato allo spazio occupato da un universo infinito, lo spazio occupato da questo universo può quindi tranquillamente continuare ad espandersi nonostante la sua “infinitezza”. Abbiamo però un altro problema apparente da risolvere: un oggetto che cresce in modo infinito ha bisogno dell’eternità affinché ciò si realizzi. Di conseguenza se il nostro universo è oggi infinito, infinito doveva essere anche nel passato. Persino nel momento del Big Bang.

Questo scenario sembrerebbe cozzare con la predizione che vuole che nel momento del Big Bang lo spazio fosse compresso in un punto di dimensioni pari a zero. Perlomeno nel caso di un universo chiuso (un universo geometricamente simile ad una sfera). Nel caso invece di un universo aperto, invece lo spazio non ha mai avuto dimensione zero.

L’unico modo per conciliare il Big Bang con il concetto di universo infinito è quello di pensare che il “Grande Botto” si sia verificato nello stesso momento in tutti i punti di un universo infinito.

Per cercare di capire invece come si verifichi il Big Bang in un universo aperto dobbiamo immaginare una linea infinita formata da un numero infinito di punti (ricordiamo che ogni punto ha dimensione zero), il suo volume è comunque pari a zero. Possiamo immaginare così che il nostro universo visibile sia scaturito da un singolo punto di questa linea infinita.

Tanto per farci aumentare il mal di testa, qualunque sia oggi la forma dell’universo al momento del Big Bang doveva essere infinitamente curvo.

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