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Problema dei tre corpi, verso la soluzione

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Nella fisica e nella meccanica classica, il problema dei tre corpi è il problema di prendere le posizioni iniziali e le velocità (o momenti) di masse di tre punti e di risolverle per il loro movimento successivo secondo le leggi del moto di Newton e la legge di gravitazione universale di Newton. 

Il problema dei tre corpi è un caso speciale del problema degli n-corpi. A differenza dei problemi a due corpi, non esiste alcuna soluzione generale in forma chiusa, poiché il sistema dinamico risultante è caotico e per la maggior parte sono generalmente richieste condizioni iniziali e metodi numerici.

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Storicamente, il primo problema dei tre corpi specifico a ricevere uno studio approfondito è stato quello che coinvolge la Luna , la Terra e il Sole. In un senso moderno esteso, un problema dei tre corpi è qualsiasi problema di meccanica classica o meccanica quantistica che modella il moto di tre particelle.

I fisici hanno passato secoli alle prese con una scomoda verità sulla natura: di fronte a tre stelle in rotta di collisione, gli astronomi potrebbero misurare le loro posizioni e velocità in nanometri e millisecondi e non sarebbe sufficiente per prevedere il destino delle stelle. 

Ma nel cosmo sono stati osservati numerosi sistemi ternari di stelle se gli astrofisici sperano di comprendere appieno le regioni in cui i corpi celesti si mescolano in gruppi, devono capire come risolvere il “problema dei tre corpi“. 

Sebbene il risultato di un singolo evento a tre corpi sia inconoscibile, i ricercatori stanno scoprendo come prevedere la gamma di risultati di grandi gruppi di interazioni a tre corpi. 

Negli ultimi anni, vari gruppi hanno capito come fare previsioni statistiche di ipotetici accoppiamenti di tre corpi: per esempio, se la Terra avesse incrociato migliaia di volte le orbite di Marte e Mercurio, quanto spesso Marte sarebbe stato espulso? 

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Ora, una nuova prospettiva sviluppata dal fisico Barak Kol semplifica il “problema dei tre corpi” probabilistico, guardandolo da una nuova prospettiva astratta. Il risultato consente di ottenere alcune delle previsioni più accurate realizzate finora. 

Funziona davvero bene“, ha commentato Nathan Leigh, astronomo dell’Università di Concepción in Cile, coinvolto nella sperimentazione del nuovo modello. “Penso che il [modello] di Barak in questo momento sia il migliore“. 

Problema dei tre corpi: qual è il volume del caos?

Quando la gravità lega due oggetti, i potenziali risultati sono semplici. Gli oggetti potrebbero fondersi o entrare in un’orbita ellittica attorno a un centro di massa condiviso. Isaac Newton scrisse alcune brevi equazioni che catturano questi movimenti nel 1600. 

Ma se una stella si avvicina a una coppia di stelle già in orbita l’una intorno all’altra, non c’è modo di fare previsioni. 

La terza stella potrebbe avvicinarsi in modo prevedibile. Oppure potrebbe entrare nella mischia, dando inizio a un periodo di furiosi giri e sterzate che potrebbe durare per momenti o anni. Alla fine, la calma ritorna quando una delle tre stelle viene lanciata lontano dalle altre due. 

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Seguirà uno dei due scenari: se la terza stella ha abbastanza energia di rotazione, fugge, lasciando la coppia originale a vivere in pace. O se non lo fa, il terzo oggetto verrà allontanato solo per ricadere di nuovo verso la coppia e provocare un altro periodo di caos. 

Il famoso matematico Henri Poincaré dimostrò nel 1889 che nessuna equazione poteva prevedere con precisione le posizioni di tutti e tre i corpi in tutti i momenti futuri. In questo caso del problema dei tre corpi, Poincaré aveva scoperto il primo caso di caos, un fenomeno il cui esito può effettivamente disconnettersi da come è iniziato.

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Poiché previsioni perfette per eventi individuali a tre corpi sono impossibili, i fisici si sono rivolti a previsioni statistiche. Date le informazioni generali sui tre corpi, come la loro energia e la loro rotazione collettiva, cosa si potrebbe dire delle probabilità che, per esempio, il più leggero alla fine venga espulso? 

Per riflettere su questo problema, i fisici hanno abbandonato lo sfondo familiare dello spazio 3D e si sono trasferiti in un’arena astratta nota come “spazio delle fasi“. In questo vasto nuovo regno, ogni punto rappresenta una possibile configurazione delle tre stelle: questa è una posizione 3D, una velocità 3D e una massa per ciascuno dei tre corpi – uno spazio a 21 dimensioni immutabile, tutto sommato. 

Un evento specifico a tre corpi (come una stella che va a perturbare un sistema binario) inizia in un punto nello spazio delle fasi e traccia un percorso mentre si evolve da una configurazione all’altra. 

In questo quadro, i fisici sono stati in grado di utilizzare il caos a proprio vantaggio. Per un sistema caotico, non c’è solo un risultato possibile, ma molti. Ciò significa che se lasci che il sistema a tre corpi si evolva nel tempo, esplorerà ogni possibile percorso caotico, raggiungendo infine ogni angolo di qualche regione caotica del suo spazio delle fasi. 

Per il problema dei tre corpi, gli scienziati possono calcolare, statisticamente, dove ogni corpo potrebbe finire calcolando con precisione il volume all’interno del suo spazio delle fasi che rappresenta il movimento caotico. 

I fisici hanno utilizzato requisiti come le leggi i conservazione per ridurre l’intero spazio delle fasi a un più semplice “parco giochi” di otto dimensioni. Ma definire precisamente la regione caotica (anche otto-dimensionale) all’interno di quello è stata una sfida, in parte perché tre corpi orbitanti possono saltare tra movimento caotico e regolare (espellendo temporaneamente un corpo). 

Vari gruppi hanno visualizzato il volume dello spazio caotico in modi diversi, culminando in un modello definitivo elaborato da Nicholas Stone, dell’Università ebraica di Gerusalemme e Leigh nel 2019 che ha eliminato le ipotesi del passato per costruire il modello a tre corpi più accurato e matematicamente rigoroso ad oggi conosciuto. 

Non è possibile farlo meglio“, ha detto Leigh, che è anche affiliato con l’American Museum of Natural History di New York. “L’unica cosa che si può fare è inventare un modello diverso“.

Un palloncino caotico che perde

È esattamente quello che ha fatto Kol, anche lui dell’Università Ebraica di Gerusalemme. Stone e Leigh e gruppi precedenti si sono concentrati sul confine di quella regione caotica, un luogo in cui i sistemi a tre corpi passano dal caos al movimento regolare espellendo un corpo. 

Kol, dell’Università Ebraica di Gerusalemme, al contrario, studia un metaforico “buco” nel volume caotico, dove è più probabile che si verifichi una simile transizione. Più a lungo un sistema a tre corpi rimbalza all’interno della regione caotica, più è probabile che trovi un tale buco, espellendo un membro e sfuggendo al movimento caotico. 

La natura di questa o più uscite, crede Kol, ti dice tutto quello che c’è da sapere sul problema statistico dei tre corpi.

Il precedente approccio di Stone e Leigh immaginava la regione caotica come “un pallone gonfio di gas con l’intera superficie che perde un po’ ovunque e ha la stessa perdita in ogni punto“, ha detto Stone. “L’approccio di Barak [Kol] sta dicendo che ‘No, il pallone ha buchi discreti e alcune perdite sono più importanti di altre‘”.

Kol cattura la forma delle uscite dal palloncino caotico in una misteriosa funzione chiamata assorbimento caotico: considera, cioè, le probabilità che una coppia stellare calma con una certa energia diventi caotica se gli spari contro una terza stella (al contrario della coppia che respinge immediatamente il nuovo arrivato). 

Usando questa funzione e la struttura di Kol, si può, in linea di principio, rispondere a qualsiasi domanda statistica sull’intero spazio delle fasi in tutta la sua gloria multidimensionale, tipo, ad esempio, quando un trio espellerà un membro (in media), le probabilità con cui volerà via ad una certa velocità e la gamma di forme possibili per l’orbita della coppia rimanente. La sua teoria è stata pubblicata il 1 aprile sulla rivista Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy .

Questa teoria “ha inciso enormemente sulla risoluzione [del modello statistico a tre corpi]“, ha detto Viraj Manwadkar, un ricercatore dell’Università di Chicago che aiuta a testare il modello. “Ha semplificato [il problema] notevolmente“.

Finora, le idee di Kol sembrano promettenti. In un documento non ancora sottoposto a revisione tra pari pubblicato nel database di preprint arXiv a gennaio, Manwadkar, Kol, Leigh e Alessandro Trani dell’Università di Tokyo hanno tenuto una battaglia reale per vedere come la teoria di Kol ha tenuto testa ad altre previsioni statistiche di tre corpi. 

Hanno eseguito milioni di simulazioni di mashup tra trii di stelle di diverse masse per vedere quanto spesso ogni stella veniva cacciata dal gruppo. Quando le stelle hanno la stessa massa, l’imprevedibilità del movimento caotico garantisce che ogni individuo abbia un terzo di possibilità di essere cacciata via – non sono richiesti modelli fantasiosi. 

Ma quando le masse sono diverse, emerge un modello: le stelle più leggere sono più facili da espellere.

Quando i tre corpi hanno masse 10-sole (10 volte la massa del sole), 15-sole e 20-sole, per esempio, la stella 10-sole viene espulsa nel 78% delle simulazioni. La teoria di Kol ha inchiodato questa previsione, mentre le teorie rivali prevedevano che l’espulsione dell’elemento più leggero avrebbe luogo tra il 70% e l’87% delle volte. Il nuovo quadro funziona ancora meglio man mano che le masse diventano più sbilenche. 

Queste previsioni sono meravigliosamente accurate“, ha detto Stone. 

Dalle stelle digitali all’astrofisica

Il problema è che nessuno sa descrivere con precisione la forma del buco, la funzione di assorbimento caotico (che è, a sua volta, un oggetto complicato e multidimensionale). La teoria eccelle nel prevedere quale corpo verrà espulso perché quel calcolo specifico in un certo senso “fa la media” su molti buchi diversi, liberando i ricercatori dall’elaborare i dettagli. 

Ma per fare il tipo di previsioni a cui gli astrofisici tengono davvero, come le forme tipiche delle orbite ellittiche delle coppie stellari che restano dopo un incontro caotico a tre corpi, l’assorbenza caotica conta molto. Il modello del 2019 di Stone e Leigh, che calcola il volume della regione caotica su otto dimensioni, può già fare queste previsioni. 

Per aiutare il modello di Kol a fare previsioni simili, Manwadkar prevede di eseguire molte simulazioni di singole stelle in collisione con coppie, che aiuteranno a delineare la forma dell’enigmatica funzione di assorbimento punto per punto. Alla fine, spera in una bella equazione che descriva la sua intera forma, risolvendo il problema statistico dei tre corpi. 

Il sogno è ottenere un’espressione matematica“, ha detto Manwadkar, “che consentirebbe le previsioni statistiche più accurate fino ad oggi“. 

Se i ricercatori avranno successo, il prossimo passo sarà vedere cosa ha da dire la teoria sugli incidenti reali del caos dei tre corpi là fuori nell’universo. 

Le stelle possono concentrarsi in spessi ammassi stellari dove i singoli si incontrano regolarmente in coppie e le simulazioni a tre corpi aiutano i ricercatori a capire come milioni di eventi a tre corpi cambiano tali ammassi nel tempo. E si pensa che gli incontri a tre vie tra i buchi neri lascino dietro di sé alcune delle coppie che si fondono e inviano onde gravitazionali. 

Una buona soluzione statistica a tre corpi potrebbe aiutare gli astrofisici del Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (LIGO) e futuri rilevatori di onde gravitazionali a comprendere più a fondo le loro osservazioni. 

Quello che mi entusiasma è applicare uno o entrambi [i modelli] ai problemi astrofisici“, ha concluso Stone. 

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