Una delle intuizioni più profonde in tutta la fisica è nell’equazione più famosa di Einstein: E = mc² che, molto semplicemente, afferma che l’energia è uguale alla massa di un oggetto moltiplicata per la velocità della luce al quadrato. Questa relazione matematica apparentemente semplice contiene un’enorme quantità di fisica al suo interno, tra cui:
- se hai una certa quantità di energia disponibile, puoi creare spontaneamente nuove coppie di particelle materia-antimateria purché la loro massa a riposo sia inferiore alla quantità di energia necessaria per crearle,
- se una coppia di particelle materia-antimateria si annichila, esse produrranno una specifica quantità di energia data dalle masse della coppia di particelle che si sono annichilate,
- e che ogni volta che si ha una reazione nucleare, sia di fusione che di fissione, se la massa dei prodotti è minore della massa dei reagenti, E = mc² ci dice quanta energia verrà liberata in quella reazione.
Questa equazione, E = mc² , descrive quanta energia è inerente a qualsiasi particella dotata di massa a riposo, inclusa quanta energia è necessaria per crearla e quanta energia viene rilasciata se la distruggi.
Ma cosa succede se la tua particella non è a riposo, o se non ha alcuna massa? In questi casi, E = mc² è solo la metà dell’equazione significativa. L’altra metà è molto più interessante ed è necessaria per dare un senso fisico a quello che sta succedendo.
Il motivo per cui la “massa a riposo” è un concetto così importante è perché il movimento – il tasso di variazione della posizione di un oggetto nel tempo – non è una proprietà fisica “assoluta” nel nostro Universo. Invece, la lezione chiave della relatività di Einstein è che, indipendentemente da quale sia la tua posizione o da come la tua posizione stia cambiando nel tempo, le leggi della fisica e le costanti della natura, inclusa la velocità della luce, sembreranno sempre le stesse.
Quindi, se, ad esempio, hai un orologio in cui “un secondo” è definito da quanto tempo impiega la luce, muovendosi alla velocità della luce, a:
- salire dalla parte inferiore dell’orologio verso l’alto,
- venire riflessa da uno specchio in alto,
- e scendere ancora una volta sul fondo,
allora due osservatori in moto relativo l’uno rispetto all’altro sperimenteranno il passare del tempo in modo diverso. Dal punto di vista di un osservatore, sono quelli a riposo, e la loro definizione di “secondo” è quella corretta: un viaggio di andata e ritorno per quella luce, per andare dal basso verso l’alto fino al fondo dell’orologio, che definisce il loro passaggio nel tempo. Per chiunque sia in movimento rispetto a loro, quel movimento aggiuntivo significa che quegli orologi esterni in movimento sembrano funzionare lentamente.
La ragione di ciò è che il movimento attraverso lo spazio e il tempo sono collegati e inestricabili: intrecciati insieme in un tessuto noto come spaziotempo. Il massimo “moto nel tempo” che puoi possedere è quello che provi quando sei fermo rispetto all’Universo, o quando il tuo moto nello spazio è nullo. Se ti muovi nello spazio, tuttavia, il tuo movimento nel tempo rallenta, motivo per cui più ti avvicini alla velocità della luce, meno invecchi e sperimenti il passare del tempo. Questo ha una miriade di applicazioni, dai sistemi di posizionamento globale (GPS) alla fisica delle particelle ad alta energia.
Ma è qui che dobbiamo guardare l’altra metà di E = mc² di Einstein: quando sei in movimento, la tua energia non è data solo dalla tua energia di massa a riposo, che è il contributo mc² alla tua energia. Invece, hai anche energia cinetica: l’energia del movimento stesso.
Ogni volta che due oggetti si scontrano, sia che si uniscano (anelasticamente) o rimbalzino l’uno contro l’altro (elasticamente), è l’energia cinetica che possiedono, basata sul loro moto l’uno rispetto all’altro, che determina la velocità con cui si muoveranno. dopo che si sono scontrati l’uno con l’altro. Questa “energia di movimento”, o energia cinetica, è essenziale per la fisica degli oggetti in movimento, dalle palle da biliardo alle automobili ai sistemi planetari.
Ma l’equazione più famosa di Einstein, E = mc² , non ha assolutamente alcuna dipendenza dal moto! Se l’energia è semplicemente massa moltiplicata per la velocità della luce al quadrato, allora come influisce il movimento in questo? Da dove viene l’energia cinetica?
Forse un argomento ancora più convincente diventa evidente se consideriamo la luce: un quanto di energia che non ha affatto massa a riposo. La luce, sia che la trattiamo come un’onda la cui energia è definita dalla sua lunghezza d’onda o come una particella la cui energia è quantizzata in pacchetti noti come fotoni, non ha massa a riposo, quindi m in E = mc² deve essere uguale a zero. Ma la luce trasporta energia, quindi E = mc² non può essere tutto ciò che c’è, altrimenti anche E sarebbe uguale a zero, cosa che non è possibile.
C’è un accenno alla soluzione se hai studiato fisica al liceo o all’università e hai imparato la formula “standard” per l’energia cinetica: KE = ½mv² , dove v è la velocità dell’oggetto in movimento. Questa formula si applica solo a velocità basse rispetto alla velocità della luce: dove v è molto più piccola di c, la velocità della luce nel vuoto (la stessa “c” che è in E = mc² : 299.792.458 m/s).
La ragione per cui “l’energia cinetica” offre un suggerimento così utile è perché ti porta un passo più vicino al vero concetto chiave nel completare l’equazione più famosa di Einstein: la quantità di moto.
La quantità di moto è la “quantità di movimento” che ha un oggetto, ed è ben definito se la cosa che è in movimento ha massa o ne è priva e, se ha massa, se si muove vicino alla velocità della luce oppure no. Momentum, etichettato con una p per motivi molto latini – derivante sia dal verbo “pellere” (spingere con forza) che da “petere” (andare) – è fondamentalmente una misura di quanta inerzia un oggetto deve al suo movimento e, di conseguenza, quanto è difficile portarlo a riposo.
- Per particelle massicce che si muovono lentamente rispetto alla velocità della luce, la quantità di moto può essere ben approssimata dalla semplice formula p = mv .
- Per particelle massicce che si muovono a qualsiasi velocità, anche a una frazione sostanziale della velocità della luce, la quantità di moto è più precisamente scritta p = mγv , dove “ γ ” è il fattore di Lorentz: 1/ √ (1-( v / c ) ² ).
- E per particelle prive di massa, come la luce, che si muovono alla velocità della luce e non hanno affatto massa a riposo, la quantità di moto non può essere scritta in termini di massa, ma può essere scritta in termini di energia molto semplicemente, come p = E / c .
Se vogliamo dare la vera espressione dell’energia inerente a qualsiasi particella, allora, dobbiamo includere gli effetti della sua quantità di moto sull’energia così come gli effetti della sua massa a riposo sull’energia. E = mc² , per quanto semplice, compatto e famigerato com’è, vale solo per particelle dotata di massa a riposo: una quantità utile solo in certi casi.
Fortunatamente, esiste una formula quasi altrettanto semplice che incorpora sia l’energia di massa a riposo di una particella, quando presente, sia il contributo della sua quantità di moto all’energia. La formula dell’energia è la seguente:
E = √ ( m²c⁴ + p²c² )
Pensa a cosa succede in tutti i diversi casi che si applicano qui. Se la quantità di moto ( p ) è zero, allora l’ultimo termine scompare del tutto e ottieni semplicemente E = √ ( m²c⁴ ), che diventa ancora una volta il buon vecchio E = mc² : l’equazione di equivalenza massa-energia originale di Einstein.
E se ci muoviamo lentamente rispetto alla velocità della luce, e mettiamo semplicemente p = mv per la quantità di moto?
Qui l’equazione diventa E = √ ( m²c⁴ + m²v ² c² ), o, se estraiamo un mc² dall’interno della radice quadrata,
E = mc² * √ ( 1 + ( v / c ) ² ).
Questo potrebbe non sembrarti particolarmente familiare, ma considera quanto segue: questa equazione funziona solo per valori di velocità, o v , che sono lenti rispetto alla velocità della luce, o c in questa equazione.
Pertanto, la parte dell’equazione che recita √ (1 + ( v / c ) ² ) sarà solo leggermente maggiore di uno, perché il termine ( v / c ) è piccolo. Ogni volta che hai, in matematica, un’espressione che è √ (1 + x), dove “x” è piccola rispetto a 1, può essere ottimamente approssimata da 1 + ½*x.
Se lo facciamo alla nostra espressione per l’energia, trasformiamo √ (1 + ( v / c ) ² ) in 1 + ½*( v / c ) ² , che trasforma la nostra espressione per l’energia in
E = mc ² * (1 + ½*( v / c ) ² ),
che diventa, moltiplicando i termini:
E = mc² + ½ mv² ,
che ci dice che l’energia totale è l’energia di massa a riposo (la parte mc²) più l’energia cinetica (la parte ½ mv² ).
Quando abbiamo una particella massiccia che si muove vicino alla velocità della luce, tuttavia, non possiamo più fare tali approssimazioni con alcun tipo di affidabilità; devi semplicemente calcolare tutto da solo, usando l’equazione E = √ ( m²c⁴ + p²c² ).
Ma quando si arriva a quantità di moto molto elevate, che è proprio il caso di cui ci occupiamo nei nostri acceleratori di particelle più grandi e potenti, il termine di massa a riposo contribuisce molto poco all’energia complessiva. Al 99,999%+ della velocità della luce, il termine m²c⁴ sarà molto più piccolo del termine p²c² nell’equazione, il che significa che possiamo trascurarlo.
Se lo facciamo, otteniamo semplicemente E = √ ( p²c² ), che diventa E = pc: l’equazione per la relazione energia-impulso per fotoni e altre particelle prive di massa. A volte la chiamiamo approssimazione ultra-relativistica, poiché è utile ovunque l’energia di massa a riposo di un sistema sia piccola rispetto all’energia dovuta al movimento; possiamo trascurare quel primo termine – il termine m²c⁴ – anche se l’oggetto che si muove in modo ultra-relativistico non è veramente privo di massa.
La cosa straordinaria di questa storia è che uno dei test chiave della relatività di Einstein arrivò nel 1919: durante un’eclissi solare totale. Secondo la teoria di Einstein, la presenza di una grande quantità di energia, tutta in un punto dello spaziotempo (il Sole), piegherebbe e distorcerebbe il percorso di tutti gli oggetti che vi si avvicinassero. Ciò include la luce delle stelle sullo sfondo, che, sebbene priva di massa, seguirebbe comunque il percorso creato dallo spazio curvo: l’importante concetto chiave della Relatività Generale.
Ma cosa prevedeva la vecchia teoria che la Relatività Generale stava cercando di sostituire, la teoria della gravitazione universale di Newton?
Alcune persone insistevano sul fatto che avrebbe predetto una deflessione nulla, poiché la luce non ha massa a riposo e la teoria di Newton si basava esclusivamente sulla massa per l’attrazione gravitazionale. Altri riconobbero che i fotoni trasportano ancora energia sotto forma di E = pc e quindi, se usii l’energia che avevano i fotoni al posto di dove avresti tipicamente usato la massa (cioè, se sostituivi E / c² di un fotone in luogo della massa newtoniana, m), potresti effettivamente prevedere una deflessione anche per la gravità newtoniana. Il fatto che la teoria di Einstein prevedesse il doppio del valore newtoniano, e che fosse effettivamente confermato dalle osservazioni, fu il test chiave che ci permise di verificare e convalidare la teoria di Einstein, portando a una rivoluzione nel modo in cui comprendevamo l’Universo.
Quando pensi all’equazione più famosa di Einstein, dovresti comunque riconoscere quanto sia profonda la semplice affermazione, E = mc ² , in realtà. Ci dice che ogni particella dotata si massa ha una quantità di energia inerente ad essa, anche quando è a riposo, e che la sua energia non può mai scendere al di sotto di quel valore chiave: mc². Se vuoi creare una particella simile, hai bisogno almeno di tanta energia; se devi creare quella particella insieme alla sua controparte antiparticella, hai bisogno almeno del doppio di quell’energia. E se distruggi o annichilisci qualsiasi particella massiccia, tutta quell’energia di massa a riposo diventerà parte dell’energia che tutte le “particelle figlie”, o particelle prodotte nell’annichilazione, portano via.
Ma dovresti anche riconoscere che E = mc ² è solo una parte della storia completa: perché le particelle non solo esistono a riposo, ma si muovono anche attraverso l’Universo. La quantità di movimento che portano con sé, la quantità di moto, fa sì che anche una certa quantità di energia di movimento sia associata a quella particella. Per particelle massicce che si muovono lentamente, puoi approssimare l’energia di movimento con E= ½ mv². Per particelle prive di massa e particelle massicce ultra-relativistiche, puoi approssimare quell’energia di movimento con E = pc. Ma se vuoi il caso generale, dove la massa a riposo e la quantità di moto sono entrambe incluse, hai bisogno dell’equazione completa per l’energia di una particella:
E = √ ( m²c⁴ + p²c² )
Per quanto sia famosa, E = mc² è solo metà dell’equazione completa necessaria per descrivere l’energia di una particella. Per ottenere l’altra metà, devi ricordare che non puoi semplicemente descrivere l’Universo scattandogli un’istantanea.
Ha una sorta di bellezza – ed energia – che commuove.
