Le equazioni differenziali hanno svolto un ruolo importante nella fisica teorica e matematica. Tutto ebbe inizio nel XIX secolo con la formulazione della teoria ondulatoria della luce che si affermò sotto la spinta di risultati sperimentali osservati e ben analizzati. Qui, per la prima volta, le equazioni alle derivate parziali sono apparse come espressione naturale delle realtà primarie della fisica.
La nuova era nell’evoluzione della fisica teorica iniziò con geni come Maxwell, Faraday e hertz e non sarebbe sbagliato chiamare Maxwell il “leone” di questa rivoluzione della fisica. L’intera idea di ciò che si sapeva allora sui fenomeni luminosi ed elettromagnetici era espressa da Maxwell nel suo doppio sistema di equazioni differenziali. Maxwell dimostrò che i campi elettrici e magnetici erano, infatti, variabili dipendenti, riconcettualizzando la nozione preconcetta di campi elettrici e magnetici.
Confrontandosi con i risultati sperimentali di Faraday, insieme ad altri fisici straordinari come André-Marie Ampère, Maxwell si è interrogato sulla forma matematica delle equazioni dei campi elettrici e magnetici e ha apportato alcuni cambiamenti nelle sue equazioni con un notevole colpo di intuizione. La teoria di Maxwell oggi può essere riassunta da quattro equazioni. Ma la sua formulazione prese la forma di 20 equazioni simultanee, con 20 variabili. Le componenti dimensionali delle sue equazioni (le direzioni x, y e z) dovevano essere enunciate separatamente. E ha impiegato alcune variabili controintuitive.
1)∇.D = ρ
2)∇.B = 0
3)∇xE = -∂B/∂t
4)∇xH = J +∂D/∂t
Qui, E e B e J sono campi vettoriali che descrivono rispettivamente l’intensità del campo elettrico, la densità del flusso magnetico e la densità della corrente elettrica, ρ descrive la densità della carica elettrica, D è lo spostamento elettrico, H rappresenta l’intensità del campo magnetico e t è il tempo .
La prima equazione di Maxwell
∇.D = ρ.
Integrando questo su un volume arbitrario V otteniamo
∫v ∇.D dV = ∫v ρ dV
Ma dal Teorema di Gauss, otteniamo
∫s D.dS = ∫v ρ dV = q
Qui, q è la carica netta contenuta nel volume, V S è il volume limite della superficie V. La prima equazione di Maxwell significa che: Lo spostamento elettrico totale attraverso la superficie che racchiude un volume è uguale alla carica totale all’interno del volume.
Seconda equazione di Maxwell
∇.B = 0
Integrandolo su un volume arbitrario V, otteniamo
∫v ∇.B = 0.
Usando il teorema della divergenza di Gauss per trasformare l’integrale di volume in integrale di superficie, otteniamo
∫s B.dS = 0.
La seconda equazione di Maxwell significa che : Il flusso totale in uscita dell’induzione magnetica B attraverso qualsiasi superficie chiusa S è uguale a zero.
Terza equazione di Maxwell
x E = — ∂B/∂t . dS
Convertendo l’integrale di superficie del
membro sinistro in integrale di linea mediante il teorema di Stoke, si ottiene
Φc E. dI = — ∫s ∂B/∂t. dS.
La terza equazione di Maxwell significa che: La forza elettromotrice (emf e = ∫C E.dI) attorno a un percorso chiuso è uguale alla velocità di variazione negativa del flusso magnetico legato al percorso (poiché flusso magnetico Φ = ∫s B.dS) .
La quarta equazione di Maxwell
∇ x H = J + ∂D/∂t
Prendendo integrale sulla superficie S delimitata dalla curva C, si ottiene
∫s ∇ x H. dS = ∫s (J + ∂D/∂t) dS
Usando il teorema di Stoke per convertire l’integrale di superficie su LHS dell’equazione sopra in integrale di linea, otteniamo
Φc H.dI = ∫s (J + ∂D/∂t).dS
La quarta equazione di Maxwell significa che: La forza magnetomotrice (mmf = Φc H dI) attorno a un percorso chiuso è uguale alla corrente di conduzione più la corrente di spostamento attraverso qualsiasi superficie delimitata dal percorso.
“Trascurando gli importanti risultati individuali che il lavoro di una vita di Maxwell ha prodotto in importanti dipartimenti di fisica e della natura della realtà fisica, possiamo dire questo: prima di Maxwell la gente concepiva la realtà fisica, nella misura in cui si suppone che rappresenti eventi in natura- come punti materiali, i cui mutamenti consistono esclusivamente di moti, soggetti ad equazioni differenziali totali. Dopo Maxwell hanno concepito la realtà fisica come rappresentata da campi continui, non spiegabili meccanicamente, che sono soggetti ad equazioni differenziali alle derivate parziali. Questo cambiamento nella concezione della realtà è il più profondo e fruttuoso che sia giunto alla fisica dai tempi di Newton“. (A. Einstein nel centenario della nascita di Maxwell. Pubblicato nel 1931).
Le equazioni di Maxwell sono molto simili alle equazioni di Hamilton in cui mostrano quale deve essere la velocità di variazione, nel tempo, delle quantità rilevanti, in termini di quali sono i loro valori in un dato momento. Nelle equazioni di Maxwell, le quantità sono campi elettrici e magnetici. Ma c’è una grande e importante differenza tra le equazioni di Maxwell e quelle di Hamilton: le equazioni di Maxwell sono equazioni di campo e le equazioni di Hamilton sono equazioni di particelle, il che significa che sono richiesti un numero infinito di parametri per descrivere lo stato del sistema nel caso della proposizione di Maxwell mentre, per quelle hamiltoniane, richiede un numero finito (le coordinate dei tre punti).
Le equazioni dell’elettromagnetismo di Maxwell descrivono come i campi elettrici e magnetici derivano da cariche e correnti elettriche, come si propagano e come si influenzano a vicenda. Queste equazioni non hanno solo l’importanza di aiutare a formulare e spiegare molteplici aree della fisica teorica e matematica ma anche, insieme alla forza di Lorentz, quantificano la maggior parte dei processi fisici che sperimentiamo nella nostra vita quotidiana.
Le equazioni di Maxwell possono essere considerate uno dei pilastri fondamentali della meccanica quantistica e della fisica moderna poiché spiegano magnificamente il fatto che la luce non richiede un mezzo per la sua propagazione che in precedenza si presumeva fosse un etere luminoso.
Nel 19° secolo, i fisici teorici si resero conto che esistevano soluzioni alle equazioni di Maxwell in cui i campi elettrici e magnetici potevano coesistere in assenza di carica elettrica. Questa soluzione era un’onda oscillante, in movimento, che si muoveva a 299.792.458 metri al secondo.
Furono condotti diversi esperimenti che in seguito rivelarono che la luce stessa si muoveva esattamente alla stessa velocità. Non era una coincidenza: erano la stessa cosa. Era chiaro che la luce non era un’entità magica e che potevamo creare luce attraverso la manipolazione di cariche elettriche. Ciò ha portato alla creazione di sorgenti luminose artificiali, come i laser.
La semplice idea che è venuta fuori dalla teoria dell’elettromagnetismo di Maxwell – il fatto che l’energia può essere trasportata da un luogo all’altro dalle onde elettromagnetiche – è risultata sorprendentemente affascinante ed estremamente stimolante nella comunità dei fisici.
