Nucleazione del vuoto di De Sitter

In uno studio pubblicato su Physics of the Dark Universe il 26 dicembre, Licata et al. propongono una nuova interpretazione nel framework Hartle-Hawking basato sull’olografia proiettiva De Sitter.
Lo stato di Hartle-Hawking (HH) o teoria dello stato senza confini, nell’ambito del modello standard, è una teoria fisica e un modello cosmologico sull’origine dell’universo ipotizzata da James Hartle e Stephen Hawking e, in seguito, con l’apporto anche di Thomas Hertog.
In questa teoria il Big Bang non deriva da una singolarità gravitazionale iniziale ma da uno “stato iniziale senza confini” descritto come una sorta di “cupola”.
L’universo – o meglio, uno stato primordiale a densità altissima di energia e temperatura, assai simile a un buco nero – sarebbe autosufficiente e auto-creato, mentre lo spaziotempo si sarebbe espanso ad un certo punto, per un evento come una fluttuazione da questo falso vuoto di tipo quantistico.
Lo stato di Hartle-Hawking si collocherebbe cronologicamente come periodo precedente all’era di Planck e all’inflazione. Esso è inoltre descritto come l’inizio dell’universo o del multiverso, oltre il quale non ha senso domandare cosa esistesse prima.
Il Big Bang sarebbe quindi una fase successiva a questo stato eterno precedente a tutto, essendo come un confine di una sfera, non si potrebbe viaggiare prima di esso, come non si può essere più a nord del polo terrestre.
La teoria venne elaborata per sopperire al problema della singolarità. Hawking rielaborò le leggi fisiche secondo una teoria matematica proposta da Richard Feynman (somma sulle storie o integrale sui cammini), introducendo così il “tempo immaginario“, un’astrazione matematica che permette di relazionare due eventi casualmente non connessi o non connessi temporalmente.
Con il tempo immaginario – ossia un tempo senza la presenza di spazio e spaziotempo – la singolarità può essere studiata. Hawking propone così un universo infinito o più precisamente senza contorno o confini, in espansione e con un inizio nel tempo immaginario. Tuttavia anche il modello ipotizzato da Hawking, è un modello che non può andare fino in fondo ed essere verificato fino a quando non si disporrà di una teoria che unifichi la gravità e la meccanica quantistica.
Nella teoria dello stato senza confini, la funzione d’onda dell’universo – ossia un’immagine per spiegare come sia nato l’universo – è calcolata attraverso l’integrale sui cammini (una funzione di tensione metrica definita a (D-1) di superficie compatta, dove D è la dimensione spazio-temporale). Questa funzione d’onda dell’universo può soddisfare l’equazione di Wheeler-DeWitt.
Il modello cosmologico prevede che l’universo non abbia confini nello spaziotempo, sostituendo il Big bang inteso come singolarità gravitazionale iniziale, con un modello matematico descritto per analogia con la regione di un polo terrestre.
Originariamente la nuova proposta prevedeva una forma dell’universo di tipo chiuso destinato a terminare in un Big Crunch o Big Bounce, ma le discussioni con Neil Turok hanno portato a concludere che la proposta di assenza di condizioni al contorno è valida anche nel caso di un universo aperto o piatto, la condizione al contorno dell’universo è che esso non ha un confine, è la descrizione del modello modificato da una sfera a una possibile cupola. Questo modello è basato sulla cosmologia quantistica e la gravità quantistica, ma utilizza una geometria complessa quadridimensionale, con un particolare oggetto detto istantone.
L’universo (o il multiverso) nascerebbe dal nulla come fluttuazione quantistica di particelle elementari, e all’inizio avrebbe avuto una forma a cupola o semi-sfera, al posto di una singolarità.
La teoria affronta la nascita dell’universo da una fluttuazione quantistica (cioè il Big Bang), ma la fine seguirà le altre teorie: un’inflazione infinita e nuovi universi, un “rimbalzo” o lo strappo del tessuto dello spaziotempo. L’universo dello stato di Hartle-Hawking non ha inizio, ma non è uguale alla teoria dello stato stazionario di Fred Hoyle (non è presente la cosiddetta creazione continua); esso semplicemente non ha confini iniziali, né di spazio né di tempo.
Questo modello vuole spiegare in particolare l’inizio di tutto, non la fine.
Il modello è adatto anche ad altre teorie sull’universo: in tal caso il vero stato di Hartle-Hawking non si colloca prima del Big Bang ma prima dell’ipotetica origine prima del multiverso e degli universi ciclici.
Nella nuova teoria di cui discuteremo in questo articolo, viene scelto di costruire la funzione d’onda a partire dal fattore di scala dell’Universo attraverso un approccio quantistico e, successivamente, viene mostrato che una tale funzione d’onda soddisfa la condizione senza confini di HH.
Considerando un puro Universo de Sitter, che semplifica la Cosmologia Lambda-CDM e modella l’Universo trascurando la materia ordinaria, le dinamiche dell’Universo sono dominate dalla costante cosmologica, che dovrebbe corrispondere all’Energia Oscura nell’Universo attuale. In questo caso, la prima equazione di Friedmann diventa l’operatore Hamiltoniano, che è esattamente l’Hamiltoniano di un semplice oscillatore armonico. Ottenere HH dall’equazione è coerente con l’idea della presenza di un effetto tunnel. Inoltre, si osserva che la frequenza dell’oscillatore dipende dalla costante cosmologica. Questo può suggerire un ruolo speciale di Λ, che va ben oltre la struttura geometrica su larga scala.
L’ interpretazione della meccanica quantistica (QM) in un quadro cosmologico richiede regole particolari. Un problema molto importante della QM, è che, con le sue varie interpretazioni, si riferisce a uno spazio-tempo in cui la funzione d’onda si evolve.
Al contrario, nella cosmologia quantistica la funzione d’onda genera lo spazio-tempo stesso.
In effetti, l’origine della cosmologia quantistica deriva essenzialmente dai tentativi di rimuovere la singolarità iniziale classica a livello quantistico e dà un punto di partenza per studiare il “tessuto sottile” della gravità quantistica.
La nostra funzione d’onda HH,  in maniera suggestiva, si può descrivere come una “nebulosa quantistica” che sostituisce la singolarità iniziale classica. Questa “nebulosa quantistica” genera un’espansione accelerata della struttura spazio-temporale. Questo non deve essere considerato “un collasso”. Al contrario, è una sorta di transizione naturale e fluida che non ha precedenti in QM. Quindi, il compito principale della funzione d’onda HH è quello di produrre il collasso di un numero molto elevato di gradi di libertà di quanti, attraverso una sorta di “nucleazione”. In altre parole, lo spazio-tempo come fenomeno emergente.
L’oscillatore sembra una risposta naturale all’idea di nucleazione e ha una forte potenziale connessione con il valore della costante cosmologica che sembra essere una conseguenza logica dell’approccio di questo studio. Pertanto, i problemi riguardanti l’interpretazione fisica della funzione d’onda HH vengono trasferiti all’oscillatore che funziona con il tempo immaginario.
In realtà, questo problema era già apparso nella derivazione originale della funzione d’onda HH. La “nebulosa quantistica” è infatti tecnicamente descritta da Hartle & Hawking in termini di un universo simile a De Sitter che ha tempo immaginario.
In questo quadro, spazio e tempo sono indistinguibili e vicini l’uno all’altro.
Hawking e collaboratori hanno sottolineato in vari lavori che le successive sezioni parallele di quell’ipersfera dovrebbero rappresentare uno spazio ipersferico tridimensionale che parte da un “Polo Sud” non singolare. Questo polo si espande fino a raggiungere una dimensione massima e, successivamente, si riduce a un “Polo Nord”, che è ancora non singolare in quanto lo spazio globale ha un comportamento ipersferico. Questa idea è arrivata prima dell’evidenza cosmologica di un Universo in accelerazione con il ritorno trionfale della costante cosmologica, ma rappresenta l’essenza della linea di ragionamento di Hawking e collaboratori.
Il problema è che una tale linea di ragionamento sembra errata. Lo spazio-tempo di HH “prima” della nascita dell’Universo è ben definito e regolare, ma ha coordinata temporale immaginaria.
Quando “dopo” si passa allo spazio-tempo effettivo dell’universo neonato quest’ultimo è ancora ben definito e regolare, ma ora la coordinata temporale è reale.
Quindi, come passare da una situazione ben definita e regolare ad un altra ancora ben definita e regolare ma col tempo che da immaginario diventa reale?
Bisogna forzare qualche “collasso” o comunque qualche “evento esotico” che non sembra essere molto naturale. L’approccio di Licata et al. sembrerebbe un po’ più naturale di quello di HH.
Viene proposto un metodo alternativo per analizzare l’universo de Sitter, che si basa sull’approccio della cosiddetta relatività proiettiva de Sitter. Si pensa che in questo scenario la funzione d’onda HH e l’oscillatore possano trovare una nuova illuminante interpretazione.
Per il nostro scopo, è sufficiente definire il vuoto come un serbatoio di azione universale posizionato su una superficie 4D di un’ipersfera tridimensionale euclidea (5D). Questa superficie può essere convertita in un iperboloide 4D che rappresenta uno spazio-tempo de Sitter mediante una rotazione di Wick (metodo per trovare soluzioni matematiche a un problema nello spazio di Minkowski, risolvendolo nel corrispondente spazio euclideo. Ciò avviene operando una trasformazione che sostituisce le variabili immaginarie con variabili reali, operazione nota in matematica come prolungamento analitico).
La rappresentazione proiettiva di Beltrami di questo spazio-tempo de Sitter su un iperpiano 4D tangente all’iperboloide nel punto-evento dell’osservazione è nota come “cronografo di Castelnuovo“. È importante notare che questo approccio  rende possibile individuare l’Universo de Sitter come un quadro di processi fisici senza fare riferimento ad alcuna fisica “locale”.
Le posizioni spazio-temporali di eventi osservabili non appartengono alla fase arcaica rappresentata nell’ipersfera: essa è popolata solo di processi virtuali. Abbiamo chiamato tale teoria “arcaica” perché il ruolo dell’ipersfera e quello dell’Universo osservato non sono correlati da un “prima” e un “dopo“. L’ipersfera è piuttosto come una fase a-temporale altamente non locale.
Le posizioni spazio-temporali o “etichette” sono invece correlate alle descrizioni delle classi di osservatori sul piano P4 tangente (rappresentazione proiettiva Beltrami-Castelnuovo, vedi figura 4.1). Il passaggio da una descrizione all’altra è definito dalla rotazione di Wick : prima di saltare fuori dal vuoto, le particelle sono in uno stato virtuale descritto dal tempo immaginario del pre-spazio; durante il ritardo dell’esistenza osservabile, entra in gioco il tempo reale. La manifestazione di particelle dal vuoto e la loro scomparsa nel vuoto sono le vere micro-interazioni descritte nella teoria quantistica attraverso il “collasso” o la riduzione della funzione d’onda (processi R). A tutti gli effetti: una “localizzazione” a livello di singolo evento in microfisica, una “nucleazione” nel caso del Big Bang.
Ora diamo un’occhiata più da vicino al ruolo del tempo immaginario.
Possiamo pensare a un asse x0 dell’ipersfera che rappresenta le temperature inverse e immaginare che sotto un valore critico di questa coordinata i processi fisici siano costretti a rimanere virtuali. Questo vincolo viene rimosso quando x0 supera il valore critico, permettendo così l’emergere di processi reali in tempo reale, ad una velocità completamente analoga a quella esponenziale del decadimento radioattivo.

Questo asse può essere considerato come un “precursore arcaico” del tempo. La sfera-5D è:
(x0)^2 + (x1)^2 + (x2)^2 + (x3)^2 + (x5)^2 = r^2                                                (1)
È ragionevole supporre che il valore critico corrisponda alla temperatura della bariogenesi: TC = ~ kθ0                                                                                                              (2)  dove θ0 ∼ 10^−23 s svolgendo il ruolo dell’intervallo di tempo fondamentale (cronone), quindi TC ≈ 10^13 K. L’espansione dello spazio è descritta dall’estensione canonica della (1), ovvero:
(x0)^ 2 −R^2 (τ) [(x1)^2 (x2)^2 (x3)^2] (x5)^2 = r^2                                            (3) dove τ è il tempo cosmico.
Una differenza importante rispetto alla cosmologia di Friedmann è che, pur ammettendo una molteplicità di possibili modelli, che saranno successivamente selezionati in base all’osservazione, l’approccio qui descritto porta a un singolo modello cosmologico.
Corrisponde al modello di Friedmann con curvatura spaziale nulla (k = 0) e un termine cosmologico positivo λ. Fissando la costante cosmologica, si trova anche una nuova costante naturale t0, che ha le dimensioni del tempo; questo tempo è correlato al raggio r de Sitter attraverso la relazione r = ct0, dove c  è la velocità della luce nel vuoto.
Se si assume che l’inizio dell’espansione coincida con l’origine di x0, ovvero che il Big Bang si verifichi sull’equatore x0 = 0 dell’ipersfera (1), si ottiene il valore ± r per la variabile x5. In termini geometrici, ciò corrisponde a un Big Bang a forma di punto associato a un punto sull’equatore della sfera-5D. Tuttavia, l’asse x5 può essere ruotato su questo equatore dando origine a differenti (ed equivalenti) intersezioni.
Pertanto, si hanno differenti (ed equivalenti) Big Bang o, per essere più precisi, differenti (ed equivalenti) punti di vista dello stesso Big Bang, che sono pertinenti a osservatori fondamentali (inerziali) distinti. Nelle coordinate dei singoli osservatori, la metrica è coerente con l’equazione (3) e quindi tutti gli osservatori vedono un Universo in espansione. Ad un certo valore del tempo cosmico τ, tutti gli osservatori vedono l’Universo nelle stesse condizioni.
Pertanto, il principio cosmologico funziona a condizione che la materia sull’equatore x0 = 0 sia omogenea. Il vuoto senza dimensioni a partire dal quale si sviluppa il Big Bang è quindi sostituito, in questo approccio, da uno spazio preesistente: l’equatore della sfera-5D (1). Il passaggio dalla condizione (1) alla condizione (3) avviene a un valore critico θ0 della variabile x0 / c. Per quel valore critico, diventano possibili processi di localizzazione quantistica di particelle elementari nello spazio-tempo. L’emergere di tutte le particelle elementari nel dominio spazio-temporale è la vera essenza del Big Bang.
A partire da questa nucleazione dal vuoto di una sfera-5D, la propagazione delle particelle è descritta da funzioni d’onda in cui le coordinate che soddisfano la condizione (3) e non più la condizione (1). La “fase arcaica” governata dalla condizione (1) termina e inizia la storia effettiva dell’Universo governata dalla condizione (3) dell’espansione dello spazio. E il tempo “scorre”.
Va notato che la contrazione risultante dalla distanza della scala opera sullo ‘spazio-tempo privato‘ dei singoli osservatori fondamentali, non sullo ‘spazio-tempo pubblico‘, che rimane invariato.Quando ci si avvicina al Big Bang procedendo all’indietro nel tempo cosmico, lo spazio di contemporaneità privata di ciascun osservatore si contrae in un punto; ma lo spazio pubblico non contratto sarà identico per tutti gli osservatori. Pertanto, non esiste mai un valore di densità singolare.
In altre parole, nello spazio pubblico, il Big Bang non è veramente una singolarità. Pertanto, l’origine dell’Universo (e del tempo) è un processo di nucleazione che implica un passaggio dall’informazione all’energia. Data l’omogeneità iniziale, tutti gli osservatori fondamentali vedranno le stesse condizioni cosmiche fisiche, nonostante l’assenza di correlazioni causali tra le loro rispettive posizioni. In questo modo vengono ignorate due difficoltà del modello standard, vale a dire la giustificazione dell’omogeneità iniziale (che è qui l’aspetto naturale di un pre-vuoto) e l’apparizione di una singolarità. L’isotropia spazio-temporale e l’omogeneità sono le conseguenze del decadimento di un (pre) vuoto arcaico isotropico e omogeneo; questa linea di ragionamento concorda con alcune caratteristiche importanti di altri approcci contemporanei. Questa soluzione è molto simile a quella dell’Universo di Hartle-Hawking senza confini, ma anche a quella proposta da Bohm et al. per i processi di “localizzazione spontanea”
Ora torniamo  alla funzione d’onda HH e all’oscillatore. Si sostiene infatti che il significato formale e fisico dell’oscillatore che funziona con il tempo immaginario può essere chiarito nel quadro dell’olografia de Sitter.
Si presume che l’ipersfera S4 sia una forma geometrica del vuoto quantistico, che a sua volta è considerata un serbatoio di informazioni universale o, in termini più fisici, popolata solo da processi virtuali (tempo immaginario). Questo modello giocattolo del vuoto quantistico è stato etichettato come “universo arcaico” perché la sua relazione con gli osservabili non è cronologica.
È invece logica.
In effetti, la relazione tra S4 e lo scenario post big bang standard, che funziona in tempo reale e riguarda un’espansione accelerata dell’Universo, si ottiene attraverso la rotazione di Wick e la proiezione di Beltrami-Castelnuovo su un piano tangente all’ipersfera P4 (vedi fig. 4.1 e 5.1) Si nota che ogni gruppo P4 “eredita” da S4 lo stesso evento, e quindi definisce un substrato uguale per tutti gli osservatori. Qui l’eterno di De Sitter è solo l’ipersfera S4, mentre le quantità che lavorano in tempo reale e si riferiscono a osservabili sono attribuite a P4. Non ci sono né singolarità fisiche (ma solo apparenti dovute all’orizzonte degli eventi) né contraddizioni (forzature) nella transizione tra le due diverse geometrie. Il quadro più naturale per l’oscillatore quantistico  dovrebbe essere la superficie di S4.
A causa dell’assenza di tempo, questa superficie agisce come una specie di membrana non locale. Una delle coordinate di S4 ha il ruolo di un precursore arcaico del tempo e, a causa della temperatura critica (2), inizia a nucleare.
In altre parole, la popolazione virtuale inizia a mostrarsi in termini di materia reale. Sosteniamo che questa dovrebbe essere l’essenza fisica del “big bang” e sembra che questo tipo di descrizione non sia troppo distante da una descrizione tradizionale.
In termini relativistici tradizionali, si può dire che l’ipersfera rappresenta una condizione di confine globale riguardante un big bang con una “singolarità isotropica”. Questo è esattamente ciò che è richiesto dall’equazione di Wheeler – de Witt. Il prezzo da pagare – che qui sembra essere favorevole – è una diversa interpretazione della funzione d’onda cosmologica in termini di prodotto delle funzioni d’onda delle particelle nucleate. L’importante differenza è che la connessione tra le due fasi non è dinamica come nel lavoro originale di Hartle e Hawking, è invece olografica attraverso la trasformazione di Wick e la proiezione de Sitter.
In pratica, si sostiene che il vuoto arcaico dà forma al vuoto quantistico attraverso le condizioni al contorno mentre l’evoluzione dell’Universo rappresenta la sua proiezione.
L’approccio basato sugli eventi (che unisce cosmologia e microfisica ed è connessa con i popolari approcci “senza tempo”) rappresenta un’estensione della QM standard, basato su una scala temporale per la localizzazione.
Il significato del cronone non deve essere considerato come un “tempo minimo“, ma come una scala temporale compatibile con la localizzazione di oggetti barionici, cioè una sorta di raggio classico analogo al raggio classico dell’elettrone di Bohr. Questo è ciò che ci si aspetta da un approccio semi-classico HH che è molto distante dalla scala di gravità quantistica di Planck.
Nel quadro della relatività di De Sitter si trova l’orizzonte cosmologico di De Sitter: si presume che la localizzazione di un processo R sia associata alla formazione di un micro-orizzonte de Sitter in accordo con la funzione d’onda che sta entrando / uscendo da il processo; la costante è indipendente dal tempo cosmico, pertanto, anche il rapporto che ne risulta è indipendente dal tempo cosmico; questo rapporto esprime il numero di localizzazioni temporali distinte che sono accessibili dal processo R all’interno dell’orizzonte cosmologico di De Sitter.
Questo è un tipo di informazione che è codificata sull’asse del tempo all’interno dell’orizzonte di Sitter dell’osservatore. I processi R sono in effetti interazioni reali tra particelle reali. Durante tali interazioni viene scambiata una quantità di azione dell’ordine della costante di Planck h. Le informazioni sulla localizzazione dei processi R dovrebbero essere collegate all’entropia attraverso il principio di indeterminazione. Pertanto, sembra naturale chiedersi se si possa applicare il limite di Bekenstein sull’entropia, in qualche modo, ai due orizzonti citati.
Supponendo che le informazioni sulla localizzazione temporale dei processi R siano collegate all’area del micro-orizzonte e di conseguenza dalla relazione olografica si ricava che l’estensione spaziale di un bit di informazioni risulta essere l ≈ 10^−33 cm, questa è la lunghezza di Planck!
Si ottiene così una relazione globale-locale, che è esattamente ciò che ci si aspetta da una teoria del vuoto interpretata in termini di serbatoio universale di informazioni.
In questo articolo, si fa riferimento alla connessione tra la frequenza dell’oscillatore e la costante cosmologica. Da questa discussione, si può ragionevolmente sostenere che la congettura olografica dovrebbe essere una proprietà dei due orizzonti simili al tempo: l’orizzonte cosmologico (t0) e l’orizzonte “simile a una particella” (θ0).
Questa congettura olografica non può essere generalizzata ad altri sistemi fisici (con l’esclusione dei buchi neri, perché i buchi neri hanno il proprio orizzonte degli eventi).
L’informazione associata alla localizzazione temporale di un evento fisico (processo R) ha un comportamento preciso. Lo stesso accade per la sua localizzazione spaziale. Questo perché un osservatore vede l’estensione di una transizione nel tempo di Beltrami come avente un limite inferiore dovuto all’orizzonte “simile a una particella” e un limite superiore dovuto all’orizzonte cosmologico.
Ciò suggerisce un’interpretazione interessante della costante cosmologica in termini di “indice di diffusione delle informazioni“. Inoltre, la vecchia questione sulla natura della costante cosmologica in termini di geometria contro fisica, qui è aggirata dall’interpretazione simile a Milne. Da un lato, in S4 Λ appare come un ingrediente puramente geometrico, pertinente alla struttura dello spazio de Sitter. D’altra parte, in P4, dopo il processo di nucleazione e la conversione dall’informazione alla materia, è sia lecito che necessario interpretare la costante cosmologica in termini di campi e particelle, in particolare per quanto riguarda le questioni aperte sul campo di Higgs e Dark Matter.
L’analisi in questo documento è limitata a un approccio semi-classico. Invece, il processo di nucleazione dovrebbe implicare l’emergere sia dello spazio che del tempo da una rete di eventi elementari. L’olografia proiettiva può introdurre una certa chiarezza nel dibattito attuale, consentendo una chiara distinzione tra S4 e P4. In quella direzione potrebbe essere possibile una migliore comprensione degli approcci olografici più tradizionali collegati alla congettura di Maldacena, in particolare attraverso l’avvento di una nuova centralità dello spazio-tempo di De Sitter rispetto allo spazio-tempo di Anti-de Sitter.
In effetti, uno dei problemi più importanti in questo campo di ricerca consiste nel proiettare un ologramma da una particella quantistica che vive nel futuro infinito. Ciò ha fortemente ostacolato vari aspetti al fine di descrivere in termini olografici il vero spazio-tempo.
È possibile analizzare questo problema in un framework S4 / P4 al fine di ottenere una formulazione più luminosa, che sembra più praticabile dopo il risultato edificante [Dong et al. 2018] che ha trasformato due spazi Anti-de Sitter a forma di sella in spazi de Sitter aventi forma di ciotola.
Infine, per completezza, segnaliamo anche la recente ipotesi cosmologica CPT in [Boyle et al. 2018], che deriva dal problema che la struttura S4 suggerisce due mondi speculari (molto probabilmente spazi Anti-de Sitter). L’olografia proiettiva De Sitter mostra una struttura che è naturalmente olografica, in cui il pre-spazio 5D funziona come uno schermo e le sue proiezioni sul piano tangenziale P4 rappresentano la massa, cioè l’espressione del mondo fisico reale. Nell’olografia arcaica, i processi di localizzazione e delocalizzazione sembrano aspetti complementari del mondo, mentre il principio di indeterminazione rappresenta una “porta” tra due diversi livelli di descrizioni fisiche: dalla fisica delle particelle alla cosmologia. Entrambi sono fortemente unificati in una connessione globale-locale.
Le relazioni tra varie quantità fisiche come la costante cosmologica, i crononi e la lunghezza di Planck sono fortemente interconnesse e, a livello globale, indicano il comportamento finito delle informazioni in Natura.
[Hartle-Hawking boundary conditions as Nucleation by de Sitter Vacuum – Feleppa, Licata, Corda, 2019] https://doi.org/10.1016/j.dark.2019.100381