Una nuova matematica dimostra che un tipo speciale di spazio-tempo è instabile

Quattro anni fa Georgios Moschidis ha dimostrato matematicamente che una certa configurazione dello spazio-tempo è instabile. In altre parole, qualsiasi piccola modifica a quella configurazione alla fine porterebbe a un collasso dello spazio-tempo stesso

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Quattro anni fa Georgios Moschidis ha dimostrato matematicamente che una certa configurazione dello spazio-tempo è instabile. In altre parole, qualsiasi piccola modifica a quella configurazione alla fine porterebbe a un collasso dello spazio-tempo stesso.

Moschidis ha dimostrato che una certa configurazione canonica dello spazio-tempo einsteiniano chiamato spazio anti-de Sitter (AdS) è instabile. Getta un po’ di materia nello spazio AdS e alla fine emergerà un buco nero.

Il matematico di Stanford Jonathan Luk descrive il lavoro di Moschidis come “straordinario… Quello che ha scoperto è un meccanismo di instabilità generale”, che potrebbe applicarsi ad altre impostazioni, non correlate ad AdS, in cui la materia o l’energia sono rinchiuse in un sistema fisico che non ha tratteggi di fuga.

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Il suo ex professore, il matematico  Mihalis Dafermos definisce il lavoro del suo ex studente “spettacolare” e “sicuramente la cosa più originale che ho visto nella matematica della relatività generale negli ultimi anni“.

E sebbene non viviamo in un universo anti-de Sitter (meno male perché non esisteremmo), il lavoro ha anche implicazioni per la nostra comprensione di tutto, dalla turbolenza alle connessioni misteriose tra le teorie della gravità e la meccanica quantistica.

La gravità gonfiata

La congettura dell’instabilità – e in effetti l’intera scuola di pensiero da cui è nata – risale alle equazioni della relatività generale di Einstein, che spiegano esattamente come la massa e l’energia influenzano la curvatura dello spazio-tempo. In un vuoto, dove non c’è alcun problema, lo spazio-tempo può ancora essere curvato e la gravità può ancora essere presente, a causa della densità di energia del vuoto stesso, descritta da una “costante cosmologica“. Lo spazio vuoto, a quanto pare, non è affatto vuoto.

Le tre soluzioni più semplici alle equazioni del vuoto di Einstein sono le più simmetriche: quelle in cui la curvatura dello spazio-tempo è la stessa ovunque.

Nello spazio-tempo di Minkowski, dove la costante cosmologica è zero, l’universo è perfettamente piatto.

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Nello spazio-tempo de Sitter, dove la costante cosmologica ha un valore positivo, l’universo ha la forma di una sfera.

E quando la costante cosmologica è negativa, si ottiene lo spazio-tempo AdS, che ha una forma a sella.

Agli albori della cosmologia, gli scienziati si chiedevano quale di questi tre spazi-tempo descriva il nostro universo.

I matematici, d’altra parte, tendevano a chiedersi se queste diverse configurazioni di spazio-tempo fossero davvero veramente stabili. Cioè, se disturbassi un vuoto spazio-tempo in qualche modo – diciamo, iniettando un po ‘di materia nel sistema o inviando alcune onde gravitazionali – alla fine si sistemerebbe in qualcosa di vicino allo stato originale? O si evolverebbe in qualcosa di completamente diverso? È l’equivalente cosmico di far cadere una roccia in uno stagno: le onde diminuiranno gradualmente o si trasformeranno in uno tsunami?

Nel 1986, un matematico ha dimostrato che lo spazio-tempo di De Sitter è stabile. Una coppia di matematici fece lo stesso per lo spazio-tempo di Minkowski nel 1993. Il problema dello spazio tempo Anti de Sitter ha richiesto più tempo. Il consenso generale era sul fatto che l’AdS, a differenza delle altre due configurazioni, è instabile, il che significava che i matematici avrebbero dovuto adottare un approccio completamente nuovo. “Molti strumenti in matematica sono stati sviluppati per affrontare i problemi di stabilità“, ha affermato Dafermos. “Ma l’instabilità è un’arena completamente diversa – specialmente questo tipo di instabilità“, che è di natura non lineare, creando una situazione intrinsecamente complicata, con calcoli di conseguenza complicati.

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I ricercatori sospettavano che lo spazio-tempo di AdS potesse essere instabile perché ritenevano che il suo confine sarebbe stato riflettente, “che agirebbe come uno specchio in modo che tutte le onde che lo colpiscono tornino“, ha spiegato Dafermos.

La riflessione al limite ha senso da un punto di vista fisico“, ha affermato Juan Maldacena, fisico presso l’Institute for Advanced Study di Princeton. Ciò è in parte dovuto alla curvatura dello spazio AdS, ma c’è una spiegazione ancora più semplice: la premessa sostiene il principio del risparmio energetico.

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Se il confine è, di fatto, riflettente, nulla può fuoriuscire dallo spazio-tempo AdS. Quindi qualsiasi materia o energia immessa nel sistema potrebbe potenzialmente concentrarsi, forse a tal punto da formare un buco nero. La domanda che ci si poneva era: accadrebbe davvero e, in caso affermativo, quale meccanismo farebbe raggruppare materia ed energia a tal punto piuttosto che restare diffusi?

Moschidis immaginava che trovarsi nel mezzo dello spazio-tempo AdS sarebbe come stare in una palla gigante il cui bordo o confine si trova all’infinito. Se invii un segnale luminoso da lì, raggiungerebbe il confine in un tempo finito. Questo tipo di viaggio è possibile solo a causa di un noto effetto relativistico: sebbene la distanza spaziale al confine sia davvero infinita, il tempo rallenta per un’onda o un oggetto che viaggia alla velocità della luce o vicino a essa. Quindi un osservatore in piedi nel mezzo dello spazio-tempo di AdS vedrebbe un raggio di luce raggiungere il limite in un tempo limitato (anche se sarebbe necessaria una certa pazienza).

Invece di usare un raggio di luce, Moschidis ipotizzò di lasciar cadere nello spazio AdS una forma di materia che viene comunemente usata nei modelli di relatività generale, le cosiddette particelle di Einstein-Vlasov.

Queste particelle creano onde concentriche di materia nello spazio-tempo, simili alle onde d’acqua che compaiono in uno stagno.

Delle molte onde concentriche create quando la materia viene improvvisamente gettata in questo spazio-tempo, le prime due saranno le più grandi.

La prima ondata – chiamatela onda 1 – si espanderà verso l’esterno fino a quando non colpisce il confine, rimbalza indietro e si contrae mentre si ritira verso il centro. Seguirà la seconda ondata, l’onda 2.

Quando l’onda 1 si riavvia dal confine e inizia a contrarsi verso il centro, colpirà l’onda 2, che si sta ancora espandendo. Una conseguenza delle equazioni di Einstein, determinata da Moschidis, è che in un’interazione come questa, l’onda in espansione (onda 2 in questo caso) trasferirà sempre energia all’onda contraente (onda 1).

Dopo che l’onda 1 ha raggiunto il centro, ricomincerà a espandersi, incontrandosi con l’onda 2, che ora si sta contraendo. Questa volta, l’onda 1 impartirà energia all’onda 2. Questo ciclo può ripetersi molte, molte volte.

Moschidis realizzò qualcos’altro: vicino al centro, le onde occupano meno spazio e l’energia che trasportano è più concentrata. Per questo motivo, le onde scambiano più energia durante l’interazione vicino al centro che durante l’interazione vicino al confine. Il risultato netto è che l’onda 1 fornisce più energia all’onda 2 al centro di quella dell’onda 2 all’onda 1 al limite.

Nel corso di numerose iterazioni, l’onda 2 diventa sempre più grande, prendendo energia dall’onda 1. Di conseguenza, la densità di energia dell’onda 2 continua a svilupparsi. Ad un certo punto, mentre l’onda 2 si contrae verso il centro, la sua energia diventerà così concentrata che si formerà un buco nero.

Ecco la prova dell’instabilità: Moschidis ha dimostrato che quando aggiunge anche una minuscola quantità di materia a uno spazio-tempo di AdS, si formerà inesorabilmente un buco nero (o buchi neri).

Tuttavia, lo spazio-tempo AdS ha, per definizione, una curvatura uniforme ovunque, il che significa che non può ospitare oggetti contorti nello spazio come i buchi neri. “Se perturbate lo spazio-tempo di AdS e attendete un tempo sufficiente“, ha detto Moschidis, “vi ritroverete con una geometria diversa – una che contiene buchi neri – e non è più AdS. Questo è ciò che intendiamo per instabile“.

Moschidis ha recentemente dimostrato l’instabilità dello spazio AdS per un diverso tipo di perturbazione della materia – un cosiddetto campo scalare senza massa – presentando questo lavoro non ancora pubblicato in numerosi colloqui accademici. “Poiché le onde generate da un campo scalare sono un proxy per le onde gravitazionali“, ha detto Dafermos, questo porta Moschidis un passo avanti verso l’obiettivo finale: dimostrare l’instabilità di un universo AdS in un vero vuoto, in cui lo spazio-tempo è perturbato rigorosamente dalla gravità senza l’introduzione di qualsiasi questione.

Il futuro turbolento dello Spazio Anti de Sitter

L’instabilità dello spazio-tempo AdS ha importanti implicazioni per il modo in cui comprendiamo il nostro universo. Innanzitutto, poiché lo spazio-tempo di AdS è instabile, è “qualcosa che non vedrai mai in natura“, ha detto Moschidis.

Ma “anche se l’AdS non è reale“, ha detto, “può ancora portarci alla scoperta e allo studio di fenomeni reali“.

Ad esempio, la turbolenza sorge quando l’energia viene concentrata da grandi scale a piccole scale – qualcosa che Moschidis ha mostrato può verificarsi quando lo spazio-tempo di AdS è disturbato. Ma la turbolenza è un fenomeno diffuso (e poco compreso) che appare in tutti i tipi di sistemi fluidi.

Lo spazio-tempo AdS – almeno per qualcuno con le capacità e le inclinazioni di Moschidis – è un sistema “pulito” e relativamente semplice con cui lavorare, motivo per cui lo considera “un buon banco di prova teorico” per studiare la turbolenza. Nell’ambito AdS, la turbolenza è causata dalla gravità, ma Moschidis ritiene che gli strumenti matematici che sta sviluppando potrebbero aiutare l’analisi della turbolenza che si manifesta anche nella meccanica dei fluidi.

L’AdS è anche in primo piano nella cosiddetta corrispondenza AdS / CFT, un indizio chiave su come unire la meccanica quantistica con la gravità in una teoria onnicomprensiva della gravità quantistica.

La corrispondenza afferma che un sistema gravitazionale nello spazio AdS può essere equivalente a un sistema quantistico nongravitazionale in una dimensione inferiore. “Possiamo prendere un sistema meccanico quantistico che non contiene gravità e descriverlo invece da una teoria della gravità – non una teoria della gravità nel nostro universo ma una teoria della gravità in un universo AdS“, ha detto Maldacena, che ha scoperto la corrispondenza nel 1997. Ha inoltre osservato che l’instabilità AdS – come recentemente dimostrato da Moschidis – non influisce sulla validità della corrispondenza.

Il lavoro di Moschidis, se combinato con la corrispondenza AdS / CFT, potrebbe anche aiutare a illuminare il dominio più familiare delle particelle interagenti.

Ad esempio, Moschidis ha usato piccole perturbazioni dello spazio-tempo AdS per creare buchi neri. Questo processo è correlato, tramite la corrispondenza, al processo di termalizzazione mediante il quale i sistemi quantistici raggiungono l’equilibrio – un fenomeno quasi onnipresente nel mondo reale.

Dimostrare che AdS è instabile“, ha concluso Moschidis, “non significa che non sia interessante.”

Fonte: Quanta Magazine