Zeri infiniti lungo una linea verticale: un enigma che dura dal 1859
Il fatto che la matematica fornisca alla fisica il linguaggio giusto per formulare le leggi della natura è nella logica delle cose. La prospettiva che la fisica fornisca la chiave per comprendere un autentico mistero della matematica è, al contrario, un fatto piuttosto insolito e straordinario. È il caso della congettura di Riemann, uno dei problemi più famosi della matematica.
Nel 1859 il matematico tedesco Bernhard Riemann presentò all’Accademia delle scienze di Berlino un articolo destinato a cambiare la storia della matematica. Riguardava il mistero dei numeri primi e la possibilità di predire la loro elusiva distribuzione con sorprendente accuratezza.
“Al centro dell’argomentazione di Riemann c’era una congettura, che non era in grado di dimostrare, sulla posizione di un numero infinito di zeri nel piano complesso di una particolare funzione, nota come funzione di Riemann verticale con un’ascissa esattamente uguale a ½ e fino ad ora nessuno è mai riuscito a capire il motivo di una tale incredibile regolarità”, spiega Giuseppe Mussardo.
In un recente articolo pubblicato sul Journal of Statistical Mechanics (JSTAT), Giuseppe Mussardo e Andrè Leclair hanno mostrato che esiste invece una spiegazione estremamente elegante dell’allineamento degli zeri lungo il semiasse della funzione di Riemann (così come di infinite funzioni simili, le cosiddette funzioni di Dirichlet), in ultima analisi per un motivo del tutto inaspettato: la presenza di un moto caotico e le leggi di probabilità che lo regolano, infatti Mussardo e Leclair hanno dimostrato l’esistenza di un moto browniano, nascosto dietro tutte queste infinite funzioni.
Il moto browniano dietro la congettura di Riemann
Il moto browniano, fenomeno chiave della meccanica statistica, compreso per la prima volta da Albert Einstein nel 1906, è il moto caotico e disordinato degli atomi di un gas a causa dell’altissima frequenza delle loro collisioni. Nel moto Browniano, ½ è l’esponente universale che regola la diffusione degli atomi nel tempo, un esponente incredibilmente robusto a causa delle leggi probabilistiche scoperte dal grande Gauss ed entrando nel suo famoso teorema del limite centrale.
“La nostra ipotesi sulla natura browniana della congettura di Riemann, supportata da una serie di risultati probabilistici che abbiamo dimostrato nella Teoria dei numeri, è stata accompagnata da un’analisi statistica massiccia ed estremamente precisa fatta lungo la sequenza infinita dei numeri primi, un vero e proprio tour de force che ci ha impegnati per circa tre anni”, spiega Giuseppe Mussardo.
