Abbiamo una visione molto parziale e ristretta dell’universo e quando ci soffermiamo a scrutarlo esso sembra estendersi all’infinito. Ma le nostre percezioni, come è stato dimostrato, spesso non sono corrette offrendoci una visione distorta del mondo che ci circonda.
Da molto tempo siamo a conoscenza della forma sferica della Terra, ritenuta piatta da chi si soffermava, e si sofferma ancora oggi, alla sola osservazione, ferma al centro del creato con il Sole, la Luna e la sfera celeste che ruotano dando il giorno e la notte e segnano lo scorrere del tempo.
Ma che forma ha l’universo, come si sviluppano localmente le geometrie e come queste sono correlate in una forma generale? La cosmologia insegna che l’universo osservabile è omogeneo almeno in prima approssimazione, il tessuto dello spaziotempo è simile in ogni punto e in ogni direzione lo si osservi e può essere descritto solo da tre geometrie: Geometria piatta, sferica e iperbolica.
Quale di esse, però, spiega meglio il nostro universo?
Geometria piatta
Con “l’universo piatto” abbiamo una geometria dello spazio di tipo euclideo, cioè a curvatura nulla. Nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi, cioè appunto l’angolo piatto.
“Universo piatto” non significa a due dimensioni, ma semplicemente una geometria di tipo euclideo.
Ma possiamo considerare altre forme di spazio piatto. Con un po’ di intuito ed escludendo una dimensione possiamo ricavare altre forme a partire dal piano euclideo. Da una porzione di esso possiamo ricavare un rettangolo e chiudendone i bordi possiamo creare un cilindro. Unendo le estremità del cilindro otteniamo un toroide, anche se è impossibile ottenerlo utilizzando un foglio di carta perché il toro verrebbe strappato sulla parte esterna della ciambella e raggrinzito in quella interna, distorcendone la geometria.
Anche in questo caso dobbiamo creare la figura nell’astratto e una volta fatto immaginiamo un essere bidimensionale sulla sua superficie. Su piccola scala la geometria euclidea resterebbe immutata, ma a grande scala cambierebbero molte cose, vedremo delle linee che partendo da un punto tornerebbero allo stesso punto richiudendosi.
I percorsi apparentemente curvi, per un essere bidimensionale sarebbero rettilinei, perciò i raggi di luce viaggiando in maniera rettilinea tornerebbero al punto di partenza, in pratica un essere bidimensionale guardando davanti a se vedrebbe la sua nuca! Svolgendo nuovamente il foglio si osserverebbe che, entrando da un bordo e uscendo dal bordo prospicente, sembrerebbe di entrare in una nuova porzione di spazio proprio come in un videogame; viaggiando in questo tipo di universo si potrebbe percorrere una serie infinita di porzioni di spazio identiche o allo stesso modo vedere infinite copie di se stessi.
Questo tipo di geometria è stata utilizzata per misurare la distribuzione angolare della radiazione cosmica di fondo che rappresenta la prova fondamentale del modello del Big Bang caldo.
Le osservazioni hanno dimostrato che la radiazione è altamente isotropa con delle fluttuazioni di 1 su 100.000 che corrispondono alle fluttuazioni presenti nel gas caldo primordiale al momento stesso in cui la radiazione si è disaccopiata dal gas per viaggiare nell’universo.
La dimensione spaziale massima presente nelle fluttuazioni di densità non poteva essere superiore al diametro stesso dell’universo in quell’epoca, cioè dopo circa 380 mila anni dopo il Big bang. Dopo 14 miliardi di anni grazie alle equazioni della relatività generale possiamo seguire le traiettorie di quella radiazione nell’universo in espansione in dipendenza della curvatura dello spaziotempo.
Si calcola che le dimensioni massime delle fluttuazioni ora sottenderebbero un angolo di circa ½ grado nel caso di uno spazio con curvatura nulla, cioè euclideo o piatto, ed è quello che si è trovato con le misure di BOOMEranG nel 2002 e successivamente confermato con il satellite WMAP.
Geometria sferica
La superficie di una sfera è una superficie bidimensionale e ne conosciamo diversi esempi, la Terra è uno di questi.
Ma come immaginare una sfera tridimensionale? Non è semplice e dobbiamo perciò ricorrere a una analogia. Come una sfera bidimensionale è un insieme di punti posti alla stessa distanza da un centro comune, una sfera tridimensionale è un insieme di punti posti alla stessa distanza da un punto centrale quadrimensionale.
Ora proviamo a immaginare di vivere sulla superficie di una sfera bidimensionale che rappresenta l’intero universo conosciuto, dove un raggio di luce percorre la distanza più breve possibile tra due punti sulla sfera che per noi esseri a due dimensioni è una linea retta.
Ora immaginiamo di trovarci al polo nord di una sfera con un amico che si allontana da noi raggiungendo l’equatore. Il nostro amico allontanandosi rimpicciolirebbe con l’aumentare del cerchio visivo che diventerebbe sempre più ampio per essere “massimo” all’equatore. Una volta che il nostro amico passa l’equatore succede qualcosa di strano, inizia a ingrandirsi nonostante si allontani da noi, questo perché il cerchio inizia nuovamente a restringersi e lui ne occupa quindi una porzione più ampia e avvicinandosi sempre più al polo sud ci apparirebbe sempre più grande, come lo era a poca distanza dal polo nord.
Ma in questo tipo di universo piatto non è poi così strano in quanto i raggi di luce che partono dalla nostra posizione compiranno un percorso rettilineo fino a raggiungerci nuovamente.
In una sfera tridimensionale ogni punto ne ha uno opposto e vedremo ogni oggetto occupare l’intero sfondo. Il nostro universo è sferico? Non lo sappiamo, ma non possiamo escluderlo del tutto in quanto esso potrebbe essere più grande dell’universo osservabile, in questo modo lo sfondo sarebbe troppo lontano per essere osservato.
Tuttavia a differenza di un universo toroidale un universo sferico potrebbe essere misurato mediante rilevazioni locali in quanto le linee rette della geometria sferica sono dei cerchi molto grandi e la somma degli angoli interni di un triangolo sarebbero maggiori di 180°. La questione è ancora controversa perché misurazioni e test sullo sfondo cosmico a microonde e altri test sulla curvatura indicano che l’universo potrebbe essere approssimativamente piatto anche se alcuni dati rilasciati dal telescopio spaziale Plank indicherebbero un universo sferico.
Geometria iperbolica
La geometria iperbolica si incurva verso l’esterno all’infinito proprio come la geometria piatta anche se non si può adattare una distesa iperbolica all’interno di uno spazio euclideo a meno di distorcerne la geometria come in un disco di Poincarè.
Se lo si osserva, i triangoli posti sul bordo sembrano più piccoli di quelli al centro anche se nella geometria iperbolica i triangoli sono tutti uguali. Utilizzando un materiale elastico potremo realizzare i triangoli delle stesse dimensioni tanto che lo spazio iperbolico inizierebbe a somigliare a un cappello con un’ampia tesa.
Nella geometria iperbolica il cerchio al confine si troverebbe infinitamente lontano da ogni punto al suo interno perché per essere raggiunto si dovrebbero attraversare un numero infinito di triangoli. Questo piano si estenderebbe all’infinito proprio come un piano euclideo anche se la geometria locale del piano iperbolico sarebbe completamente diversa da quella a cui siamo abituati.
Nel piano euclideo una circonferenza è direttamente proporzionale al raggio, mentre in un piano iperbolico il rapporto tra raggio e circonferenza è esponenziale e questo lo si può dedurre dal numero dei triangoli ammassati lungo il confine.
Se ci poniamo in un punto del piano iperbolico e osserviamo un compagno allontanarsi lo vedremo rimpicciolire in modo esponenziale. Da notare come in un piano iperbolico gli angoli di un triangolo diano una somma minore di 180°.
I triangoli del piano di Poincarè sembrano quindi incurvati, ma per un essere che vi abitasse sarebbero diritti e il modo più veloce per raggiungere da un punto posto sul bordo un’altro punto posto sul bordo stesso sarebbe quello di passare verso il centro del piano iperbolico.
Il nostro universo, però, non sembra essere iperbolico, in quanto le osservazioni finora fatte sembrano escluderlo.
Tuttavia, non possiamo eliminare del tutto di vivere in un mondo sferico o iperbolico perché su piccola scala questi universi sembrano essere piatti proprio come ciò che gli scienziati ora osservano.
Il nostro universo potrebbe essere cosi vasto da essere, su grande scala, iperbolico o sferico ma risultare approssimativamente piatto in piccola scala.
Fonte: Quanta Magazine
