Come le analogie matematiche possono fare luce sulla realtà

In letteratura le analogie hanno un potere enorme – chi non rimane emozionato di fronte a una metafora ben mirata? Anche nel campo della fisica matematica le analogie svolgono un ruolo fondamentale

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La matematica, in qualche modo, può essere paragonata alla letteratura. Ha le sue definizioni e le sue regole grammaticali – sebbene, sfortunatamente, queste siano la rovina per le vite di molti studenti. Ed è un vero peccato, perché quando il linguaggio matematico è usato con eleganza e chiarezza, può aiutare il lettore a vedere le cose secondo delle prospettive completamente nuove. Si considerino per esempio le analogie. In letteratura le analogie hanno un potere enorme – chi non rimane emozionato di fronte a una metafora ben mirata? Anche nel campo della fisica matematica le analogie svolgono un ruolo fondamentale.

La costruzione di analogie fisiche è un processo fondamentale della fisica, perché aiuta i fisici a immaginare nuovi fenomeni. Si utilizza ancora l’espressione “fluido” di una “corrente” elettrica, utilizzando la metafora del liquido coniata dai fisici ancora prima della scoperta degli elettroni. Così come, il vecchio concetto dell’”etere” – un ipotetico mezzo di trasmissione della luce simile all’acqua o all’aria – ormai è da tanto tempo superato. Le analogie fisiche possono essere molto creative e utili, ma qualche volta possono anche condurre fuori strada.

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Lo stesso discorso vale per le analogie matematiche applicate alla realtà fisica e per l’interazione tra le analogie matematiche e quelle fisiche. Un’analogia che ha incuriosito matematici e fisici per un secolo, e che rimane ancora un argomento di discussione, è quella tra le equazioni della gravità di Einstein e le equazioni dell’elettromagnetismo di Maxwell. L’interazione tra questi due sistemi di equazioni ha portato a un nuovo campo di ricerca – il gravito-elettromagnetismo – e, di conseguenza, alla previsione di una nuova forza, gravito-magnetica.

L’idea di mettere in relazione la gravità e l’elettromagnetismo – due tipologie di fenomeni completamente diversi – ha avuto origine dall’analogia matematica tra le equazioni della gravità di Newton e le leggi dell’elettrostatica di Coulomb. In entrambe le equazioni vie è una dipendenza dall’inverso del quadrato di una distanza.

Nel 1913, Einstein iniziò a maturare un’idea più complessa, relativa alla possibile analogia tra la gravitazione relativistica e l’induzione elettromagnetica – un’idea che fu successivamente sviluppata da Josef Lense e Hans Thirring nel 1918. Per elaborare i loro calcoli i due scienziati utilizzarono la forma finale della teoria della relatività generale di Einstein, che era stata pubblicata nel 1916.

Oggi, il cosiddetto gravito-elettromagnetismo, o GEM, viene studiato, da un punto di vista matematico, attraverso l’approssimazione di campo debole alle equazioni della relatività generale; si tratta di una forma più semplice delle equazioni che sembra funzionare bene nei campi deboli, come quello terrestre.

Si è scoperto che la matematica dei campi deboli include delle quantità che soddisfano equazioni che assomigliano tanto alle equazioni di Maxwell. La componente gravito-elettrica può essere benissimo identificata con la forza di attrazione gravitazionale di Newton che ci tiene ancorati a terra. La componente gravito-magnetica, invece, sembra essere qualcosa di ancora sconosciuto – una nuova forza apparentemente dovuta alla rotazione della terra (o di qualunque altra massa di grandi dimensioni).

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Questa situazione è analoga a quella in cui un elettrone, ruotando su se stesso, genera un campo magnetico per effetto della induzione magnetica, eccetto che da un punto di vista matematico.

Un oggetto di grandi dimensioni che ruota su se stesso induce un trascinamento dello stesso spazio-tempo – come se lo spazio-tempo si comportasse come un fluido che viene trascinato attorno a una palla in rotazione (il primo a individuare questo trascinamento è stato Einstein, come conseguenza della relatività generale elaborata da Lense e Thirring).

Ma fino a che punto è possibile spingersi con queste analogie matematiche? Può considerarsi reale la gravito-induzione magnetica?

Se così fosse, dovrebbe apparire come una piccola oscillazione nell’orbita dei satelliti, e – grazie anche all’effetto geodetico, la curvatura dello spazio-tempo dovuta alla presenza della materia – come una variazione nella direzione dell’asse di un giroscopio orbitante (Quest’ultima situazione è assimilabile al modo in cui un campo magnetico generato da una corrente elettrica modifica l’orientamento di un dipolo magnetico).

Quindi, dopo un secolo di speculazioni, ecco che le risposte stanno venendo a galla. I risultati che provengono da diverse, e indipendenti, missioni satellitari – fra tutte ricordiamo il Gravity Probe B, LAGEOS, LARES, GRACEhanno confermato gli effetti della geodetica terrestre e del trascinamento con vari gradi di precisione. Per quanto riguarda il trascinamento, la migliore compatibilità con la teoria della relatività generale è stata dello 0,2% con un’accuratezza del 5%, ma gli astronomi si aspettano che il satellite LARES 2, lanciato lo scorso anno, fornisca dei dati con un’accuratezza dello 0,2%.

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Con risultati più accurati è possibile effettuare dei test più precisi sulla relatività generale, ma gli astrofisici hanno già fatto proprio il gravito-magnetismo. Per esempio, esso suggerisce un meccanismo per spiegare i misteriosi getti di gas che sono stati osservati fuoriuscire dalle stelle quasar e dai nuclei galattici attivi. Buchi neri ruotanti di grandi dimensioni, nel cuore di queste centrali elettriche cosmiche, produrrebbero enormi effetti sia di trascinamento che geodetici. Il risultante campo gravito-magnetico, analogo al campo magnetico che circonda i due poli di un magnete, spiegherebbe l’allineamento di questi getti con l’asse di rotazione nord-sud della sorgente.

Fare delle analogie è comunque complicato, e ci sono alcune anomalie interpretative che devono essere svelate. Per fare un esempio, rimangono in sospeso delle domande sul significato di termini simili come densità di energia e densità di corrente di energia gravitazionali. Le cose forse sono ancora più problematiche – o più interessanti – da un punto di vista matematico.

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Per esempio, vi è un’altra analogia puramente matematica tra le equazioni di Einstein e quelle di Maxwell, che dà origine a un’analogia molto diversa dalle equazioni del gravito-elettromagnetismo.

L’esistenza di due (o anche più di due) analogie matematiche così differenti tra le equazioni di questi due fenomeni fisici porta fortemente a pensare all’esistenza di una connessione più profonda. A oggi, comunque, vi sono delle apparenti inconsistenze fisiche tra le componenti elettrica e magnetica in ogni approccio matematico.

Inoltre, le analogie formali aiutano i matematici a trovare, in maniera intuitiva, delle strade semplici per ragionare sulle equazioni della relatività generale. E vi è sempre l’allettante possibilità che questo approccio si dimostrerà fisicamente consistente come la previsione del gravito-magnetismo.

Fonte: Cosmos