La topologia è una branca della matematica che riguarda lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza “strappi“, “sovrapposizioni” o “incollature“. Questo può essere studiato considerando una collezione di sottoinsiemi, chiamati insiemi aperti, che soddisfano certe proprietà, commutando il set d’informazioni date in quello che è noto come spazio topologico. Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione.
A metà del XX secolo, George Gamow osservò che la teoria dei numeri e la topologia non avevano applicazione in fisica [1], oggi invece, la topologia non solo è ‘invischiata’ un po’ ovunque in fisica, ma sta anche fornendo nuovi ed interessanti spunti aprendo la porta a nuove fasi topologiche della materia.
Col termine topologia si indica anche la collezione di ‘aperti’ che definisce uno spazio topologico. Per esempio un cubo e una sfera sono oggetti topologicamente equivalenti (cioè omeomorfi), perché possono essere deformati l’uno nell’altro senza ricorrere ad alcuna incollatura, strappo o sovrapposizione; una sfera e un toroide invece non lo sono, perché il toro contiene un “buco” che non può essere eliminato da una deformazione.
Nonostante l’osservazione di Gamow del 1960, la topologia era già stata applicata: alla teoria quantistica e alla relatività. Furono considerazioni topologiche che permisero a Paul Dirac di dimostrare che i monopoli magnetici erano la soluzione alle equazioni di Maxwell. Ed è stato il metodo topologico che Sir Roger Penrose ha usato per dimostrare che le singolarità sono una caratteristica generica del collasso gravitazionale [2].
Tuttavia, dal 1970 la topologia è venuta veramente alla ribalta nel campo della fisica, anche grazie alla sua introduzione nelle teorie di gauge. I successi della topologia nelle teorie quantistiche dei campi descrivono molte aree dalla fisica, dalla materia condensata alla fisica delle particelle. Nel 1980, gli argomenti topologici hanno fornito un collegamento tra l’effetto Aharonov-Bohm (fenomeno in meccanica quantistica in cui una particella carica è influenzata da campi magnetici in regioni in cui tali campi sono nulli) e fasi geometriche, ed è stato subito capito che c’era anche un collegamento con l’interpretazione topologica della (al momento) recente scoperta dell’effetto Hall quantistico.
In cosmologia, la topologia può essere usata per descrivere la forma complessiva dell’universo [3]. La classificazione topologica dei collettori di Calabi-Yau ha importanti implicazioni nella teoria delle stringhe, come diversi collettori in grado di sostenere diversi tipi di stringhe [4]. Ma, mentre la topologia è stata utilizzata dai fisici per diversi decenni, è nuovamente tornata alla ribalta grazie alla scoperta di una classe di materiali conosciuti come isolanti topologici [5].
La scoperta degli isolanti topologici ha segnato l’inizio di una ricerca più ampia per le fasi topologiche della materia, e questo continua ad essere terreno fertile [6] perché, a differenza dei numeri quantici basati sulla simmetria, i numeri quantici topologici sono abbastanza insensibili alle imperfezioni. Questa protezione topologica offre affascinanti possibilità per le applicazioni.
Questi principi non sono limitati alla materia condensata [7]; queste idee possono essere applicate a sistemi fotonici, che sono tradizionalmente molto sensibili al disturbo. Essere in grado di creare dispositivi fotonici che sfruttano gli stati topologici renderebbe non solo più facile fare e migliorare i dispositivi, ma potrebbe anche consentire nuovi disegni.
Principi simili possono essere applicati anche a sistemi meccanici classici. A prima vista, questo può sembrare un po’ strano, ma i modi meccanici (fononi), come i fotoni, sono le modalità bosoniche e topologiche che possono allo stesso modo sorgere [8]; sfruttare queste idee per guidare e controllare le onde sonore potrebbero trovare applicazioni reali in un futuro non troppo lontano.
Nei sistemi elettronici, la topologia ha permesso di realizzare lo sfuggente fermione di Weyl [9]. Se venissero sviluppati superconduttori topologici [10], essi dovrebbero ospitare fermioni di Majorana – l’ultimo del trio di fermioni fondamentali – fornendo una solida piattaforma per calcoli quantistici.
Molti di questi sistemi topologici sono stati creati facendo uso di alcune simmetrie del cristallo. Ma gli stati topologici possono anche essere trovati nei quasicristalli, la cui simmetria non è molto diversa da cristalli convenzionali. Essi hanno origine topologica in una più alta dimensione superspaziale e hanno caratteristiche non periodiche piuttosto inusuali [11].
Mentre i nuovi materiali topologici vengono scoperti e sviluppati ad una velocità impressionante, le prospettive per creare e sondare fasi topologiche esotiche sarebbero notevolmente rafforzate se potessero essere realizzati in sistemi che sono stati facilmente sintonizzati. La flessibilità offerta da atomi ultrafreddi potrebbe fornire un tale piattaforma [12]; si spera che ciò porterà a forti correlazioni esotiche di fasi topologiche della materia a portata di mano sperimentale.
Il ruolo della topologia in fisica e lo sviluppo per la realizzazione, sfruttando nuove fasi topologiche della materia, sono ancora nelle loro fasi iniziali. Ma una cosa è chiara: solo mezzo secolo dopo che George Gamow affermava che la topologia non aveva avuto applicazione alla fisica, è difficile pensare alla fisica senza la topologia!
[1] Gamow, G. Biography of Physics (Dover, 1961)
[2] Topology and physics-a historical essay – [Nash, 1997]
[3] The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-dimensional Manifolds 2nd (Marcel Dekker, 1985)
[4] The Shape of Inner Space (Yau & Nadi, 2010)
[5] Perspective Article The birth of topological insulators – [Moore, 2010]
[6] Space, matter and topology – Nature Physics 12, 616–618 (2016) doi:10.1038/nphys3800
[7] Topological states in photonic systems – Nature Physics 12, 626–629 (2016) doi:10.1038/nphys3796
[8] Topological mechanics – Nature Physics 12, 621–623 (2016) doi:10.1038/nphys3801
[9]It’s been a Weyl coming – Nature Physics 11, 698–699 (2015) doi:10.1038/nphys3454
Stefania de Luca è owner del gruppo facebook Astrofisica, cosmologia e fisica particellare
