La matematica di oggetti dall’aspetto altrimenti semplice può lasciare sorprendentemente perplessi. Probabilmente non c’è esempio più grande di questo dei nastri di Möbius.
È un oggetto unilaterale che può essere realizzato semplicemente attorcigliando un pezzo di carta e unendo le estremità con del nastro adesivo. Se dovessi seguire l’anello con il dito, alla fine finiresti proprio al punto di partenza, dopo aver toccato l’intera superficie dell’anello lungo il percorso.
Questa semplice creazione, il nastro di Möbius, è fondamentale per l’intero campo della topologia e funge da esempio per eccellenza di vari principi matematici.
Uno di questi principi è la non orientabilità, che è l’incapacità per i matematici di assegnare coordinate a un oggetto, diciamo su o giù, o da un lato all’altro. Questo principio ha alcuni risultati interessanti, poiché gli scienziati non sono del tutto sicuri che l’universo sia orientabile.
Ciò pone uno scenario sconcertante: se un’astronave con astronauti a botdo volasse nello spazio abbastanza a lungo e poi tornasse, supponendo che l’universo fosse non orientabile, è possibile che tutti gli astronauti a bordo tornino indietro.
In altre parole, gli astronauti tornerebbero come immagini speculari di se stessi, completamente capovolti. I loro cuori sarebbero a destra anziché a sinistra e potrebbero essere mancini anziché destrimani.
Se uno degli astronauti avesse perso la gamba destra prima del volo, al ritorno, l’astronauta avrebbe perso la gamba sinistra. Questo è ciò che accade quando si attraversa una superficie non orientabile come un nastro di Möbius.
Ora dobbiamo fare un passo indietro. Cos’è un nastro di Möbius e come si può realizzare un oggetto con una matematica così complessa semplicemente torcendo un pezzo di carta?
La storia del nastro di Möbius
Il nastro di Möbius (a volte scritto come “nastro di Mobius”o Moebius) fu scoperto per la prima volta nel 1858 da un matematico tedesco di nome August Möbius mentre era alla ricerca di teorie geometriche.
Möbius è in generale accreditato come scopritore (da cui il nome) ma questa tipologia di oggetto fu scoperta quasi contemporaneamente da un matematico di nome Johann Listing che, però, ritardò nella pubblicazione del suo lavoro e fu battuto sul tempo da August Möbius.
La striscia stessa è definita semplicemente come una superficie non orientabile su un lato che viene creata aggiungendo una mezza torsione a una banda. Qualsiasi banda che ha un numero dispari di mezze torsioni che alla fine fanno sì che la striscia abbia solo un lato e, di conseguenza, un bordo, può essere definita nastro di Möbius.
Fin dalla sua scoperta, la striscia unilaterale ha affascinato artisti e matematici. Il nastro di Mobius ha affascinato l’artista MC Escher, portando alle sue famose opere, “Möbius Strip I & II“.
La scoperta del nastro di Möbius è stata fondamentale anche per la formazione del campo della topologia matematica, per lo studio delle proprietà geometriche che rimangono inalterate quando un oggetto viene deformato o allungato.
La topologia è vitale per alcune aree della matematica e della fisica, come le equazioni differenziali e la teoria delle stringhe.
Ad esempio, secondo i principi topografici, una tazza è in realtà una ciambella . Il matematico e artista Henry Segerman lo spiega meglio in un video di YouTube:
“Se prendi una tazza di caffè, puoi in qualche modo rimuovere il rientro del punto in cui va il caffè e puoi schiacciare un po’ il manico e alla fine puoi deformarlo in una forma di ciambella rotonda simmetrica”.
Usi pratici per il nastro di Mobius
Il nastro di Möbius è più di una semplice teoria matematica: ha alcune interessanti applicazioni pratiche, sia come sussidio didattico per oggetti più complessi che in macchinari.
Ad esempio, poiché il nastro di Möbius è fisicamente unilaterale, l’utilizzo di nastri di Möbius nei nastri trasportatori e in altre applicazioni garantisce che il nastro stesso non subisca un’usura irregolare per tutta la sua durata.
Il professore associato NJ Wildberger della School of Mathematics presso l’Università del New South Wales, in Australia, ha spiegato durante una serie di conferenze che una torsione viene spesso aggiunta alle cinghie di trasmissione delle macchine, “intenzionalmente, per far aderire la cintura in modo uniforme su entrambi i lati”.
Il nastro di Möbius può essere visto anche in architettura, ad esempio il ponte Wuchazi in Cina.
Dr. Edward English Jr, insegnante di matematica delle scuole medie ed ex ingegnere ottico, dice che come quando ha appreso per la prima volta del nastro di Möbius alle elementari, il suo insegnante ne ha creato uno con la carta, tagliando poi il nastro di Möbius lungo la sua lunghezza e creando un striscia più lunga con due giri completi.
“Essere incuriosito ed esposto a questo concetto di due ‘stati’ mi ha aiutato, penso, quando ho incontrato il concetto di spin su/giù degli elettroni”, dice, riferendosi agli studi del suo dottorato di ricerca.
“Varie idee sulla meccanica quantistica non erano concetti così strani da accettare e comprendere perché il nastro di Möbius mi ha introdotto a tali possibilità”. Per molti, il nastro di Möbius funge da prima introduzione alla geometria e alla matematica complesse .
Come si crea un nastro di Möbius?
Creare un nastro di Möbius è incredibilmente facile. Prendi semplicemente un pezzo di carta e taglialo in una striscia sottile, larga 2,5-5 centimetri. Una volta tagliata la striscia, ruota semplicemente una delle estremità di 180 gradi o mezza torsione.
Quindi, prendi del nastro adesivo e collega quell’estremità all’altra estremità, creando un anello con una mezza torsione all’interno. Ora hai un nastro di Möbius!
Puoi osservare al meglio i principi di questa seguendo con il dito i lati della striscia. Alla fine riuscirai a fare tutto il giro della forma e il dito tornerà nella posizione iniziale senza averlo mai staccato.
Se tagli una striscia di Möbius al centro, per tutta la sua lunghezza, ti rimane un anello più grande con quattro mezze torsioni. Questo ti lascia con una forma circolare contorta, ma che ha ancora due lati. È questa dualità menzionata dal Dr. English che lo ha aiutato a comprendere principi più complessi.
